Résolutions pas à pas Exercices corrigés dérivée implicite

Suivez nos résolutions pas à pas pour comprendre les solutions aux exercices de dérivée implicite, convenant aux élèves de niveau lycée.

Exercice : Dérivées Implicites

Soit l'équation suivante définie implicitement : $$x^2 + y^2 = 25$$. Répondez aux questions suivantes :

1. Montrez que cette équation représente un cercle de rayon 5.
2. Effectuez la dérivation implicite de l'équation donnée.
3. Trouvez la pente de la tangente à ce cercle au point (3, 4).
4. Calculez la dérivée seconde à l'aide de la dérivée implicite.
5. Quel est le comportement de la pente lorsque x approche 5 ?
6. Illustrer graphiquement la situation avec l'équation.
7. Expliquer l'importance de la dérivation implicite dans d'autres domaines des mathématiques.

Rappelez-vous que la dérivation d'une équation implicite nécessite l'utilisation de la règle de la chaîne.
Identifiez d'abord toutes les variables dépendantes et indépendantes dans l'équation.
Appliquez la dérivée à chaque terme, en considérant $y$ comme une fonction de $x$.
Isoler $\frac{dy}{dx}$ pour obtenir la pente de la tangente en un point donné.
Utilisez la deuxième dérivée pour étudier la concavité.

Pour chaque terme $F(x, y) = 0$, appliquer $\frac{dF}{dx} = 0$.
Pour le terme $y^2$, utiliser la règle de la chaîne : $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$.
Utiliser la substitution pour $y$ lorsque nécessaire pour simplifier les calculs.
Utiliser un graphique pour visualiser le cercle et la pente.
Prendre des notes sur chaque étape pour faciliter la compréhension.

1. L'équation $x^2 + y^2 = 25$ représente un cercle de centre $(0,0)$ et rayon $5$.
2. En dérivant chaque côté par rapport à $x$ :$$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ donne$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$
3. Au point $(3, 4)$, en substituant $x = 3$ et $y = 4$ dans $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, $$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}.$$ La pente de la tangente est donc $-\frac{3}{4}$.
4. Pour la dérivée seconde, on dérive à nouveau :$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\frac{x}{y}) = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2}.$$ Utilisant les valeurs,$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4 + 3(-\frac{3}{4})}{4^2} = -\frac{4 - \frac{9}{4}}{16} = -\frac{7/4}{16} = -\frac{7}{64}.$$
5. À mesure que $x$ approche $5$, la pente $\frac{dy}{dx}$ diverge car $y$ devient $0$.
6. Voici un graphique affichant le cercle et une tangente à un point donné.
7. La dérivation implicite est cruciale pour le traitement d'équations qui ne sont pas facilement isolables pour $y$, ce qui se retrouve dans plusieurs branches des mathématiques, y compris l'analyse et la géométrie différentielle.

La dérivation implicite est essentielle pour des équations non explicites.
Utilisez toujours la règle de la chaîne en dérivant.
Isoler $\frac{dy}{dx}$ permet de trouver la pente.
La dérivée seconde aide à comprendre la forme de la courbe.
Les graphiques peuvent clarifier des relations complexes.
Le comportement de la pente à des points critiques doit être analysé.
La compréhension des cercles est un bon point de départ.
Appliquer des exemples concrets pour renforcer la compréhension.
Les valeurs au-delà du cercle ont leurs propres implications.
Révisez régulièrement les règles de dérivation implicite pour fluidifier les calculs.

Dérivée Implicite : Méthode pour dériver des fonctions lorsque les variables ne sont pas isolées.
Règle de la Chaîne : Technique pour différencier des fonctions composées.
Dérivée Seconde : La dérivée de la dérivée, indiquant la concavité.
Pente : Taux de changement d'une fonction à un point particulier.
Cercle : Ensemble de points équidistants d'un centre donné.