Dérivée implicite maîtrisez chaque exercice corrigé
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Dérivée Implicite : Exercices Corrigés
Énoncé : Soit lafonction définie implicitement par \( F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \). Résoudre les questions suivantes :- 1. Calculez la dérivée implicite de \( y \) par rapport à \( x \).
- 2. Trouvez la valeur de \( \frac{dy}{dx} \) en \( (0, 1) \).
- 3. Evaluez \( \frac{dy}{dx} \) en \( (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}) \).
- 4. Tracez la courbe de \( F(x,y) = 0 \).
- 5. Identifiez les points où la pente de la tangente est nulle.
- 6. Déterminez \( \frac{d^2y}{dx^2} \) à l'aide de la dérivation implicite.
- 7. Discutez des points critiques sur la courbe.
- 8. Trouvez l'équation de la tangente à la courbe au point \( (0, 1) \).
Règles et Méthodes de Dérivée Implicite
- Pour trouver la dérivée implicite de \( y \) par rapport à \( x \), dériver les deux côtés de l'équation par rapport à \( x \).
- Utiliser la règle de la chaîne lors de la dérivation des termes en \( y \).
- Isoler \( \frac{dy}{dx} \) après avoir dérivé la fonction.
graph TD;
A[Dériver F(x,y) = 0] --> B[Appliquer la règle de la chaîne]
B --> C[Dériver chaque terme]
C --> D[Isoler dy/dx]
Indications Utiles pour les Dérivées Implicites
- Soyez vigilant lors de la dérivation des termes en \( y \) ; ajoutez \( \frac{dy}{dx} \) chaque fois que cela apparaît.
- Vérifiez toujours que vous êtes dans le bon domaine avant d'évaluer une dérivée.
- Un graphique peut aider à comprendre le comportement de la fonction et les points critiques.
Solutions Pas à Pas des Questions
Question 1 :
Nous dérivons l'équation \( F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \) par rapport à \( x \) :
\[\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0\]
Ce qui donne :
\[2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\]
En isolant \( \frac{dy}{dx} \) :
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]
Question 2 :
En \( (0, 1) \) :
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{0}{1} = 0\]
Question 3 :
En \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \):
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -1\]
Question 4 :
Questions 5-8 :
Nous continuerons à examiner les points où la dérivée est nulle et les tangentes s'impliquent.
Points Clés à Retenir
- La dérivée implicite est essentielle pour les fonctions non explicites.
- Utiliser la règle de la chaîne pour chaque terme en \( y \).
- Les points où \( \frac{dy}{dx} = 0 \) indiquent des tangentes horizontales.
- L'évaluation de ces dérivées aide à dessiner la courbe correctement.
- Les résultats doivent être vérifiés sur le graphique.
- Comprendre les points de changement de pente est important.
- Les équations de tangente peuvent être extraites directement.
- Rappeler que chaque dérivée peut avoir des implications géométriques.
- Les équations trouvées peuvent être utilisées pour des applications pratiques.
- Pratique constante des dérivées implicites renforce la compréhension.
Définitions Importantes
- Dérivée implicite : Technique pour trouver la dérivée d'une variable lorsque cette variable est définie par une équation impliquant d'autres variables.
- Règle de la chaîne : Technique utilisée pour dériver la fonction composée.
- Point critique : Point d'une fonction où la dérivée est nulle ou indéfinie.
Analyse approfondie de la dérivée implicite avec solutions 
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