Exercices corrigés sur les dérivées successives faciles

Découvrez des exercices corrigés simples sur les dérivées successives pour renforcer vos compétences en mathématiques. Idéal pour les collégiens et lycéens.

Exercices corrigés sur les dérivées successives faciles

Résoudre les exercices suivants relatifs aux dérivées successives des fonctions polynomiales. Pour chaque question, donnez votre réponse et justifiez-la à l'aide de calculs.

1. Trouvez la première dérivée de \( f(x) = 3x^3 - 5x + 2 \)
2. Calculez la seconde dérivée de \( g(x) = 2x^4 - x^2 + 3x \)
3. Déterminez la troisième dérivée de \( h(x) = x^5 - 6x^3 + 4x \)
4. Trouvez la dérivée de \( p(x) = 7x^2 - 2x + 1 \) et évaluez-la en \( x = 1 \)
5. Calculez la quatrième dérivée de \( q(x) = x^6 - 3x^4 + 5x^2 + 2 \)
6. Montrez que la première dérivée de \( r(x) = 4x^2 - 8 \) est constante.
7. Déterminez les dérivées premières et secondes de \( s(x) = e^x \) et discutez de leurs propriétés.

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Règles fondamentales des dérivées

1. Dérivée d'une constante : \( f'(c) = 0 \)
2. Dérivée de \( x^n \) : \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
3. Dérivée d'une somme : \( (f + g)' = f' + g' \)
4. Dérivée d'un produit : \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
5. Dérivée d'un quotient : \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} \)

graph TD; A[Dérivée] -->|Constante| B[0]; A -->|\(x^n\)| C[nx^{n-1}]; A -->|Somme| D[f' + g']; A -->|Produit| E[f' * g + f * g']; A -->|Quotient| F[(f' * g - f * g')/g^2];

Indications pour résoudre les exercices

1. Appliquez les règles de dérivation étape par étape.
2. Pour les polynômes, identifiez chaque terme et dérivez-le individuellement.
3. Vérifiez toujours vos calculs après chaque dérivation.
4. Évaluez les dérivées aux points donnés pour obtenir des résultats précis.

graph TD; A[Exercices] --> B[Règles]; A --> C[Calculs individuels]; A --> D[Vérifications]; A --> E[Évaluations];

Corrigés détaillés des exercices

Question 1

Pour \( f(x) = 3x^3 - 5x + 2 \), appliquons la règle de dérivation :

\( f'(x) = 9x^2 - 5 \)

Question 2

Pour \( g(x) = 2x^4 - x^2 + 3x \), calculons la seconde dérivée :

\( g'(x) = 8x^3 - 2x + 3 \) et \( g''(x) = 24x^2 - 2 \)

Question 3

Pour \( h(x) = x^5 - 6x^3 + 4x \), la troisième dérivée est :

\( h'(x) = 5x^4 - 18x^2 + 4\), \( h''(x) = 20x^3 - 36x \), \( h'''(x) = 60x^2 - 36 \)

Question 4

Pour \( p(x) = 7x^2 - 2x + 1 \), calculons :

\( p'(x) = 14x - 2\) et \( p'(1) = 14(1) - 2 = 12 \)

Question 5

Pour \( q(x) = x^6 - 3x^4 + 5x^2 + 2 \), la quatrième dérivée :

\( q'(x) = 6x^5 - 12x^3 + 10x \), \( q''(x) = 30x^4 - 36x^2 + 10 \), \( q'''(x) = 120x^3 - 72x \), \( q^{(4)}(x) = 360x^2 - 72 \)

Question 6

Pour \( r(x) = 4x^2 - 8 \), la première dérivée est :

\( r'(x) = 8x \), ce qui est constant pour \( x = 0 \)

Question 7

Pour \( s(x) = e^x \), la première et la seconde dérivée sont :

\( s'(x) = e^x \) et \( s''(x) = e^x \), donc elles ont la même forme que la fonction initiale.

Points clés à retenir sur les dérivées successives

1. La dérivée d'un polynôme est un autre polynôme.
2. La première dérivée donne la pente de la tangente.
3. Les successives dérivées montrent le changement de la pente.
4. Les dérivées peuvent être utilisées pour analyser les extrema.
5. La continuité est nécessaire pour la dérivabilité.
6. Les règles de dérivation sont fondamentales.
7. Les fonctions exponentielles ont la même dérivée que la fonction elle-même.
8. Les points d'inflexion sont déterminés par les dérivées secondes.
9. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
10. Vérifiez toujours vos résultats avec des points de vérification.

Définitions des termes utilisés

Dérivée : Taux de changement d'une fonction par rapport à une variable.
Polynôme : Une expression algébrique composée de variables et de coefficients liés par des opérations d'addition, de soustraction et de multiplication.
Extremum : Une valeur maximale ou minimale d'une fonction dans un certain intervalle.
Fonction exponentielle : Une fonction de la forme \( f(x) = a \cdot b^x \).
Point d'inflexion : Un point sur le graphique d'une fonction où la concavité change.

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