Exercices intermédiaires sur les dérivées successives corrigés
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Exercices intermédiaires sur les dérivées successives
Dans cet exercice, vous allez résoudre des problèmes portant sur les dérivées successives de fonctions polynômes. Voici les questions :- 1. Calculez la première et la seconde dérivée de la fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
- 2. Déterminez les points critiques de la fonction \( g(x) = 2x^4 - 8x^3 + 4 \).
- 3. Étudiez la concavité de la fonction \( h(x) = x^3 - 3x + 2 \).
- 4. Calculez la dérivée de la fonction \( p(x) = e^{2x} \sin(x) \).
- 5. Donnez les variations de la fonction \( q(x) = x^4 - 4x^2 \) en utilisant les dérivées successives.
- 6. Calculez la troisième dérivée de la fonction \( r(x) = \ln(x^2 + 1) \).
- 7. Résoudre \( f^{(3)}(x) = 0 \) pour la fonction \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x \).
Règles et techniques des dérivées successives
- Règle de somme : \( (f + g)' = f' + g' \)
- Règle du produit : \( (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' \)
- Règle du quotient : \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} \)
- Règle de la chaîne : \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
- Pour les dérivées successives, utilisez \( f^{(n)}(x) \) pour désigner la n-ième dérivée.
Indications pour les exercices sur les dérivées successives
- Commencez par déterminer la dérivée première de la fonction.
- Pour les points critiques, résolvez \( f'(x) = 0 \) et vérifiez la nature des dérivées.
- Pour étudier la concavité, regardez le signe de \( f''(x) \).
- Utilisez des graphiques pour mieux visualiser les variations des fonctions.
- Pour la dérivée d'un produit, appliquez la règle du produit avec soin.
Solutions détaillées des exercices sur les dérivées successives
1. Calculez la première et la seconde dérivée de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
La première dérivée est :
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
La seconde dérivée est :
\[ f''(x) = 6x - 12 \]
2. Déterminez les points critiques de \( g(x) = 2x^4 - 8x^3 + 4 \).
Calculons la première dérivée :
\[ g'(x) = 8x^3 - 24x^2 \]
Mettons cela égale à zéro :
\[ 8x^2(x - 3) = 0 \]
Les points critiques sont \( x = 0 \) et \( x = 3 \).
3. Étudiez la concavité de \( h(x) = x^3 - 3x + 2 \).
La seconde dérivée est :
\[ h''(x) = 6x \]
Elle est positive pour \( x > 0 \) (concave vers le haut) et négative pour \( x < 0 \) (concave vers le bas).
4. Calculez la dérivée de \( p(x) = e^{2x} \sin(x) \).
En appliquant la règle du produit :
\[ p'(x) = e^{2x} \sin(x) \cdot (2) + e^{2x} \cos(x) = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) \]
5. Donnez les variations de \( q(x) = x^4 - 4x^2 \).
La première dérivée est :
\[ q'(x) = 4x^3 - 8x \]
Facteur : \( 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{2} \)
Analyse de la variation sur ces intervalles.
6. Calculez la troisième dérivée de \( r(x) = \ln(x^2 + 1) \).
Nous avons :
\[ r'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \]
\[ r''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \]
La troisième dérivée devient complexe, mais il est faisable de continuer avec dérivation successive.
7. Résoudre \( f^{(3)}(x) = 0 \) pour \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x \).
On calcule \( f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), f^{(3)}(x) \) puis mettons le résultat égal à zéro.
Points clés à retenir sur les dérivées successives
- Les dérivées successives permettent d'analyser la forme et le comportement des fonctions.
- À chaque dérivée, on obtient des informations supplémentaires sur la fonction.
- Les dérivées d'ordre supérieur sont essentielles pour déterminer la concavité.
- Les points critiques peuvent être trouvés via la dérivée première.
- Il est crucial de vérifier la nature des extrema avec la dérivée seconde.
- Utilisez des graphiques pour visualiser le comportement des fonctions.
- La compréhension des dérivées successives favorise une meilleure analyse de fonctions complexes.
- Apprenez les différentes règles de dérivation par cœur.
- Les applications pratiques incluent l'optimisation et la modélisation.
- Les dérivées successives de fonctions composées suivent la règle de la chaîne.
Définitions et termes clés utilisés pour les dérivées successives
- Dérivée : Taux de changement d'une fonction en fonction d'une variable.
- Dérivée successive : Les dérivées de niveaux supérieurs d'une fonction.
- Point critique : Un point où la dérivée d'une fonction est égale à zéro.
- Concavité : Propriété décrivant si la fonction est curve vers le haut ou vers le bas.
- Extrema : Maximum et minimum locaux d'une fonction.
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