Cours et exercices corrigés sur les dérivées successives

Combinez théorie et pratique avec des cours et des exercices corrigés sur les dérivées successives. Un outil indispensable pour réussir vos examens.

Dérivées successives - Cours et exercices corrigés

Un étudiant doit résoudre les exercices suivants sur les dérivées successives. Les questions sont conçues pour tester la compréhension des concepts de base et l'application des règles de dérivation.

1. Trouvez la première et la seconde dérivée de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
2. Déterminez la nature des extremums de la fonction \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) en utilisant les dérivées successives.
3. Trouvez la dérivée de la fonction \( g(x) = e^{2x} \sin(x) \) et calculez \( g'(0) \).
4. Calculez \( f^{(3)}(x) \) si \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).
5. Étudiez la convexité de la fonction \( h(x) = \cos(x) + x^2 \) en utilisant les dérivées successives.

Règles de dérivation

Règle de puissance : \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \).
Produit : \( (uv)' = u'v + uv' \).
Quotient : \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
Exponentielle : \( \frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}u' \).
Trigonometry : \( \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) \) et \( \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) \).

Indications pour résoudre les exercices

Utilisez la définition des dérivées pour vérifier vos résultats.
Pour étudier la nature des extremums, examinez la première dérivée.
La convexité est déterminée par le signe de la seconde dérivée.
Toujours simplifier les expressions avant d'évaluer les dérivées.
Utilisez les propriétés des fonctions pour faciliter les dérivées de produits et de quotients.

Corrigés détaillés des exercices

1. Derivée de \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)

Calculons d'abord la première dérivée :

\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)

Ensuite, la seconde dérivée :

\( f''(x) = 6x - 12 \)

2. Nature des extremums de \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \)

Calculons les dérivées :

\( f'(x) = 4x^3 - 16x \)

Pour les extremums, résolvons \( f'(x) = 0 \):

\( 4x(x^2 - 4) = 0 \rightarrow x = 0, x = 2, x = -2 \)

Calculons la seconde dérivée :

\( f''(x) = 12x^2 - 16 \)

Évaluons \( f''(0), f''(2), f''(-2) \) pour la nature :

\( f''(0) = -16 \) (maximum), \( f''(2) = 32 \) (minimum), \( f''(-2) = 32 \) (minimum)

3. Dérivée de \( g(x) = e^{2x} \sin(x) \)

Utilisons la règle du produit :

\( g'(x) = (e^{2x})' \sin(x) + e^{2x} (\sin(x))' \)

\( g'(x) = 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) \)

Pour \( g'(0) \) :

\( g'(0) = e^{0}(2\sin(0) + \cos(0)) = 1 \)

4. Dérivée de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)

Calculons d'abord la première dérivée :

\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)

Ensuite, la seconde dérivée :

Utilisons la règle du quotient :

\( f''(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \)

Nous calculons ensuite :

\( f^{(3)}(x) \) en dérivant \( f''(x) \) de la même manière.

5. Convexité de \( h(x) = \cos(x) + x^2 \)

Calculons la première et la seconde dérivée :

\( h'(x) = -\sin(x) + 2x \)

\( h''(x) = -\cos(x) + 2 \)

Pour la convexité, vérifions le signe de \( h''(x) \) :

Si \( h''(x) > 0 \), alors \( h \) est convexe.

Points clés à retenir

Les dérivées successives permettent d'étudier les variations d'une fonction.
Une fonction est convexe si sa seconde dérivée est positive.
Les extremums sont définis par les points où la première dérivée s'annule.
La dérivée d'un produit nécessite la règle du produit.
La dérivée d'une fonction exponentielle est proportionnelle à elle-même.

Définitions importantes

Dérivée : La pente de la tangente à la courbe de la fonction à un point donné.
Dérivées successives : Dérivées calculées plusieurs fois pour étudier les variations et la convexité.
Extremum : Un maximum ou minimum local d'une fonction.
Convexité : Une fonction est convexe sur un intervalle si la seconde dérivée est positive sur cet intervalle.
Règle de la chaîne : Pour une fonction composée \( f(g(x)) \), la dérivée est \( f'(g(x))g'(x) \).