Pratique des dérivées successives exercices corrigés difficiles

Affrontez votre niveau de compétence avec ces exercices difficiles sur les dérivées successives. Solutions détaillées incluses pour vous guider.

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Exercices corrigés sur les dérivées successives

Voici un exercice comprenant plusieurs questions sur la pratique des dérivées successives. Résolvez les questions suivantes en montrant toutes les étapes de votre raisonnement.

Q1: Calculez la première et la deuxième dérivée de la fonction \( f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 5 \).
Q2: Déterminez les points critiques de la fonction \( f \) et la nature de ces points.
Q3: Calculez la dérivée d'ordre trois de la fonction \( g(x) = \sin(x^2) \).
Q4: Étudiez la convexité de la fonction \( h(x) = e^{-x^2} \).
Q5: Trouvez les points d'inflexion de la fonction \( k(x) = \ln(x^3 + 1) \).
Q6: Montrez que la dérivée de \( m(x) = x \cdot \tan(x) \) peut s'exprimer sous une formule de dérivée de produit.
Q7: Utilisez les dérivées successives pour approcher la valeur de \( f(1) \) par la méthode de Taylor.

Règles et méthodes pour le calcul des dérivées successives

R1: La dérivée d'une fonction \( f \) est notée \( f' \) ou \( \frac{df}{dx} \).
R2: Pour \( f(x) = x^n \), on a \( f'(x) = nx^{n-1} \).
R3: Les règles de dérivation incluent la règle de la somme, la règle du produit, et la règle de la chaîne.
R4: La \textbf{règle de Leibniz} pour les produits des dérivées est essentielle quand on calcule des dérivées successives.
R5: Les points critiques se trouvent lorsque \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) est indéfini.
R6: La concavité d'une fonction est déterminée par le signe de \( f''(x) \).
R7: Les points d'inflexion sont identifiés où \( f''(x) = 0 \) et change de signe.

graph TD; A[Règles de Dérivation] --> B[Première Dérivée]; B --> C[Deuxième Dérivée]; C --> D[Troisième Dérivée]; D --> E[Points critiques]; E --> F[Étude de la Convexité]; F --> G[Points d'inflexion];

Indications pour résoudre les exercices

I1: Pour \( Q1 \), utilisez les règles de puissance pour dériver chaque terme de \( f(x) \).
I2: Pour \( Q2 \), trouvez \( f'(x) \) et résolvez l'équation \( f'(x) = 0 \).
I3: Pour \( Q3 \), appliquez la règle de la chaîne pour \( g(x) \).
I4: Pour \( Q4 \), calculez \( h'(x) \) puis \( h''(x) \) pour déterminer la convexité.
I5: Utilisez \( k'(x) \) pour déterminer \( k''(x) \) afin d'identifier les points d'inflexion.
I6: Pour \( Q6 \), appliquez la règle du produit et vérifiez vos résultats.
I7: Pour \( Q7 \), rappelez-vous de la formule de Taylor et des dérivées déjà trouvées.

graph TD; A[Indications] --> B[Utilisez les règles de dérivation]; B --> C[Calculez les dérivées successives]; C --> D[Analysez les points critiques]; D --> E[Étudiez la convexité et les points d'inflexion];

Corrigés détaillés des exercices

Q1: Pour \( f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 5 \):

Calculons \( f'(x) \):\[ f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 2 \]Calculons \( f''(x) \):\[ f''(x) = 12x^2 - 18x \]

Q2: Résolvons \( f'(x) = 0 \):\[ 4x^3 - 9x^2 + 2 = 0 \]Pour la nature des points critiques, étudions \( f''(x) \) à ces points.

Q3: Pour \( g(x) = \sin(x^2) \), appliquons la règle de la chaîne:\[ g'(x) = 2x \cos(x^2) \]\[ g''(x) = 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2) \]\[ g'''(x) = -8x \sin(x^2) + \text{termes supplémentaires} \]

Q4: Pour \( h(x) = e^{-x^2} \):\[ h'(x) = -2xe^{-x^2} \]\[ h''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2} \] L'étude du signe de \( h''(x) \) permet de déterminer la convexité.

Q5: Pour \( k(x) = \ln(x^3 + 1) \):\[ k'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 1} \]\[ k''(x) = \frac{6x(x^3 + 1) - 9x^4}{(x^3 + 1)^2} \]Les points d'inflexion sont aux solutions de \( k''(x) = 0 \).

Q6: Pour \( m(x) = x \tan(x) \):Utilisons la règle du produit:\[ m'(x) = \tan(x) + x \sec^2(x) \]

Q7: Pour appliquer la méthode de Taylor:Utilisez les valeurs et les dérivées trouvées à \( x = 1 \) pour approcher \( f(1) \).

Points clés à retenir sur les dérivées successives

P1: Les dérivées successives permettent d'évaluer le comportement des fonctions.
P2: Identifiez toujours les points critiques pour les étudier.
P3: Utilisez les tests de la dérivée seconde pour la concavité.
P4: Les règles de produit et de chaîne sont essentielles pour des dérivées complexes.
P5: Les points d'inflexion marquent un changement de concavité.
P6: La méthode de Taylor permet d'approcher les valeurs de fonctions facilement.
P7: La compréhension des dérivées nécessite de l'entraînement et de la pratique.
P8: La convexité et la concavité fournissent des informations sur la forme de la courbe.
P9: Les dérivées d'ordre supérieur révèlent des caractéristiques de la fonction initiale.
P10: L'application pratique des dérivées est cruciale dans des domaines variés comme la physique et l'économie.

Définitions des termes utilisés

D1: Dérivée: Mesure de la variation d'une fonction par rapport à sa variable.
D2: Dérivée seconde: Dérivée de la dérivée, utilisée pour comprendre la courbure.
D3: Point critique: Point où la dérivée première est nulle ou indéfinie.
D4: Convexité: Propriété d'une fonction où la courbe est tournée vers le haut.
D5: Point d'inflexion: Point où la concavité change.
D6: Règle de la chaîne: Méthode pour dériver une fonction composée.
D7: Règle du produit: Méthode pour dériver le produit de deux fonctions.
D8: Estimation de Taylor: Approche d'une fonction par un polynôme localement.
D9: Fonction exponentielle: Fonction où la variable est à l'exposant d'une constante.
D10: Fonction logarithmique: Fonction inverse de l'exponentielle, utilisée pour des croissances exponentielles.