Exercices corrigés Dérivées – Notions de base

Découvrez des exercices corrigés portant sur les notions de base des dérivées et leur interprétation géométrique pour mieux comprendre ce concept essentiel.

Exercices corrigés sur les dérivées - Notions de base

Dans cet exercice, nous allons explorer la notion de dérivée et son interprétation géométrique. Voici les questions que nous allons aborder :
  • 1. Quel est le sens géométrique de la dérivée pour une fonction donnée ?
  • 2. Calculez la dérivée de la fonction f(x) = x^2 et interprétez le résultat.
  • 3. Tracez le graphe de la fonction f(x) = x^2 et de sa dérivée f'(x) dans le même repère.
  • 4. Que représente la dérivée dans le contexte d'un mouvement et comment peut-on l'interpréter ?

Règles et Formules de Dérivation

  • La dérivée d'une fonction f au point a est donnée par : f'(a) = lim(h → 0) (f(a + h) - f(a)) / h
  • Dérivée de x^n : (x^n)' = n*x^(n-1)
  • Dérivée de sin(x) : (sin(x))' = cos(x)
  • Dérivée de cos(x) : (cos(x))' = -sin(x)
  • Dérivée de e^x : (e^x)' = e^x
graph TD; A[Dérivées] --> B{Règles de dérivation}; B --> C[Dérivée de x^n]; B --> D[Dérivée de sin(x)]; B --> E[Dérivée de cos(x)]; B --> F[Dérivée de e^x];

Indications pour Résoudre les Exercices

  • Pour calculer une dérivée, utilisez les règles de dérivation appropriées.
  • Pour une interprétation géométrique, visualisez la pente de la tangente à la courbe au point considéré.
  • Utilisez un graphe pour représenter la fonction et sa dérivée côte à côte.
  • Quand vous analysez le mouvement, la dérivée représente la vitesse.
graph TD; A[Indications] --> B[Calculer des dérivées]; A --> C[Visualisation graphique]; A --> D[Interprétation du mouvement];

Corrigés des Questions

Question 1

Le sens géométrique de la dérivée d'une fonction en un point x=a est la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Cela mesure la variation de f(x) par rapport à x à cet instant.

Question 2

Calculons la dérivée de la fonction f(x) = x^2 :

f'(x) = 2x.

À x=1, f'(1) = 2(1) = 2, ce qui signifie que la tangente à la courbe au point (1,1) a une pente de 2.

Question 3

Pour tracer le graphe de f(x) = x^2 et f'(x) = 2x, nous allons créer un graphique :

Question 4

Dans le contexte d'un mouvement, la dérivée de la position par rapport au temps est la vitesse. Elle indique à quelle vitesse la position d'un objet change par rapport au temps.

Points Clés à Retenir sur les Dérivées

  • La dérivée mesure la pente de la tangente à une courbe.
  • Les règles de dérivation sont fondamentales pour le calcul.
  • Une dérivée positive indique une fonction croissante.
  • Une dérivée négative indique une fonction décroissante.
  • La dérivée nulle indique un extremum (maximum ou minimum).
  • La dérivée est essentielle en physique pour décrire le mouvement.
  • La continuité d'une fonction ne garantit pas la dérivabilité.
  • Les points de non-dérivabilité peuvent être observés sur un graphe.
  • Les applications des dérivées sont variées, incluant optimisation et modélisation.
  • Les dérivées secondes permettent d'analyser la concavité d'une fonction.

Définitions des Termes Utilisés

  • Dérivée : Mesure du taux de changement d'une fonction par rapport à sa variable indépendante.
  • Funciton Croissante : Une fonction dont les valeurs augmentent lorsque les valeurs de la variable indépendante augmentent.
  • Funciton Décroissante : Une fonction dont les valeurs diminuent lorsque les valeurs de la variable indépendante augmentent.
  • Extremum : Point où une fonction atteint un maximum ou un minimum local.
  • Pente : Mesure du changement vertical par rapport au changement horizontal entre deux points sur un graphe.

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