Exercices sur la tangente avec fonctions quadratiques
Maîtrisez le calcul de la tangente avec ces exercices corrigés sur les fonctions quadratiques. Un contenu enrichissant pour comprendre les dérivées au lycée.
Exercice sur la tangente avec fonctions quadratiques
Soit la fonction quadratique \( f(x) = ax^2 + bx + c \). On s'intéresse à la tangente à la courbe de cette fonction en un point \( x_0 \). Répondez aux questions suivantes :- 1. Trouvez l'expression de la dérivée de la fonction \( f \).
- 2. Calculez la valeur de la dérivée en un point \( x_0 = 1 \), avec \( a = 2, b = 3, c = 1 \).
- 3. Donnez l'équation de la tangente à la courbe au point \( x_0 = 1 \).
- 4. Tracez le graphique de la fonction et la tangente au point \( x_0 = 1 \).
- 5. Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole.
- 6. Vérifiez si le point \( P(1, f(1)) \) est sur la tangente.
- 7. Trouvez une autre valeur de \( x_0 \) pour laquelle la tangent fait un angle de 45° avec l'axe des abscisses.
- 8. Analysez le comportement de la tangente lorsque \( a \) est négatif.
Règles sur la dérivation et les tangentes
- La dérivée d'une fonction quadratique est une fonction linéaire.
- L'équation de la tangente à une fonction en un point \( (x_0, f(x_0)) \) est donnée par \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).
- Le sommet d'une parabole \( ax^2 + bx + c \) se trouve à \( x = -\frac{b}{2a} \).
Indications pour résoudre les questions
- Pour retrouver la dérivée, appliquez la règle de différentiation.
- Utilisez les coordonnées du point pour trouver l'équation de la tangente.
- Pour tracer les graphiques, utilisez une plage de valeurs pour \( x \).
Corrigés des questions de l'exercice
Question 1 : La dérivée de la fonction \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est donnée par :
\( f'(x) = 2ax + b \)
Question 2 : Pour \( a = 2, b = 3, x_0 = 1 \), on a :
\( f'(1) = 2(2)(1) + 3 = 4 + 3 = 7 \)
Question 3 : L'équation de la tangente est donc :
\( y = 7(x - 1) + f(1) \). Calculons \( f(1) \) :
\( f(1) = 2(1^2) + 3(1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \).
L'équation est donc :
\( y = 7(x - 1) + 6 = 7x - 7 + 6 = 7x - 1 \)
Question 4 : Voici le graphique de \( f(x) \) et de la tangente :
Question 5 : Le sommet se trouve à \( x = -\frac{3}{2(2)} = -\frac{3}{4} \) et \( y = f(-\frac{3}{4}) = \) (calcul à faire)
Question 6 : Le point \( P(1, 6) \) est sur la tangente car il respecte l'équation de la tangente.
Question 7 : Pour une tangente de 45° :
\( f'(x) = 1 \) donc :
\( 2ax + b = 1 \). Résolvez pour d'autres valeurs de \( x \).
Question 8 : Si \( a < 0 \), la courbe est ouverte vers le bas, donc les tangentes seront différentes.
Points clés à retenir
- La dérivée d'une fonction quadratique est linéaire.
- La tangente est une approximation locale de la fonction.
- Le sommet de la parabole est important pour l'analyse.
- Les tangentes peuvent fournir des informations sur le comportement de la fonction.
- La dérivée aide à déterminer les points de maximum et minimum.
- La tangente à un point peut être utilisée pour prédire des comportements locaux.
- La pente de la tangente donne la direction de la courbe.
- Une dérivée nulle indique un maximum ou un minimum local.
- Les tangentes peuvent se croiser avec la courbe à plusieurs points.
- Les transformations des coefficients modifient la forme de la tangente et de la courbe.
Définitions importantes
- Dérivée : Mesure du taux de variation d'une fonction par rapport à une variable.
- Tangente : Droite qui touche une courbe en un point sans la croiser.
- Fonction quadratique : Fonction de la forme \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
- Sommet : Point le plus élevé ou le plus bas d'une parabole.
- Point critique : Point où la dérivée est nulle ou indéfinie, représentant un maximum ou un minimum.
Tangentes et courbes complexes exercices corrigés avancés 
Tangentes et optimisation exercices détaillés