Tangentes et courbes complexes exercices corrigés avancés

Développez vos compétences avec ces exercices corrigés avancés sur les tangentes et les courbes complexes. Destiné aux étudiants lycéens ambitieux en mathématiques.

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Exercice Avancé sur les Tangentes et Courbes Complexes

Considérons la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Répondre aux questions suivantes :

Déterminez la dérivée de la fonction.
Identifiez les points critiques de la fonction.
Calculez la pente de la tangente à la courbe en \( x = 1 \).
Établissez l'équation de la tangente à la courbe au point \( x = 1 \).
Tracez la courbe de la fonction ainsi que la tangente calculée.

Règles de Calcul des Tangentes

Pour calculer la dérivée d'une fonction \( f(x) \), on utilise les règles de dérivation de base.
Les points critiques sont trouvés en résolvant l'équation \( f'(x) = 0 \).
La pente de la tangente en un point \( a \) est donnée par \( f'(a) \).
L'équation de la tangente peut être écrite sous la forme : \( y - f(a) = f'(a)(x - a) \).

Indications pour Résoudre l'Exercice

Pour chacune des questions, suivez ces étapes :

graph TD;    A[Calculer f'(x)] --> B[Determiner les points critiques];    B --> C[Calculer la pente f'(1)];    C --> D[Établir l'équation de la tangente];    D --> E[Tracer la fonction et la tangente];

Corrections Détailleés

Question 1 : Pour déterminer la dérivée de la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \), on applique la règle de puissance.

\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)

Question 2 : Les points critiques se trouvent en résolvant \( f'(x) = 0 \) :

\( 3x^2 - 3 = 0 \) \(\Rightarrow x^2 = 1\) \(\Rightarrow x = 1 \text{ et } x = -1\)

Question 3 : Calculer la pente en \( x = 1 \) :

\( f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0 \)

Question 4 : Établissons l'équation de la tangente. On doit d'abord calculer \( f(1) \):

\( f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \)

Donc, l'équation de la tangente devient :

\( y - 0 = 0(x - 1) \Rightarrow y = 0 \)

Question 5 : Pour tracer la fonction et la tangente, nous utiliserons Chart.js. Voici le code pour afficher le graphique.

Points Clés à Retenir

La dérivée d'une fonction donne la pente de la tangente.
Les points critiques peuvent indiquer des maximums ou minimums locaux.
L'équation de la tangente est basée sur le point et la pente.
Les graphiques peuvent aider à visualiser les fonctions et leurs tangentes.
Utiliser Chart.js pour tracer des graphiques dynamiques.
Les courbes cubiques peuvent avoir des comportements variés.
Les analyses visuelles enrichissent la compréhension mathématique.
Pratiquer les dérivées améliore les compétences algébriques.
Établir une intuition géométrique sur les tangentes.
Utiliser des outils graphiques contribue à l'apprentissage.

Définitions et Terminologie

Dérivée : La dérivée d'une fonction mesure la variation de la fonction par rapport à une variable.
Tangente : Une ligne droite qui touche une courbe en un seul point, représentant la pente de la courbe à ce point.
Point Critique : Un point où la dérivée est nulle ou indéfinie, souvent associé à des extrema.
Fonction Cubique : Une fonction polynomiale de degré trois dont le graphique a généralement une forme en "S".
Équation de la Tangente : L'équation qui rétroéflecte la relation linéaire entre deux variables à un certain point sur la courbe.