Tangentes et optimisation exercices détaillés
Améliorez votre compréhension des tangentes appliquées à l'optimisation avec ces exercices détaillés et corrigés, idéaux pour les élèves de lycée passionnés par les applications des dérivées.
Exercice détaillé sur les tangentes et l'optimisation
Dans cet exercice, nous allons explorer les tangentes à des courbes ainsi que les principes d'optimisation. Considérons la fonction \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Répondez aux questions suivantes :Règles et méthodes sur les tangentes et l'optimisation
- La dérivée d'une fonction \( f(x) \) donne la pente de la tangente à la courbe \( f \) au point \( (x, f(x)) \).
- Pour trouver l'équation de la tangente à un point \( a \), on utilise :\[y - f(a) = f'(a)(x - a)\]
- Pour optimiser une fonction, on cherche les points critiques où \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) n'est pas défini.
- La dérivée seconde \( f''(x) \) permet de déterminer la concavité de la fonction.
Indications pour résoudre l'exercice
- Calculez la dérivée \( f'(x) \).
- Identifiez les points critiques de la fonction.
- Déterminez la nature des points critiques en utilisant la dérivée seconde.
- Écrivez l'équation de la tangente à la courbe à un point donné.
Correction de l'exercice
Question 1: Calculez la dérivée de \( f(x) \).
Nous avons \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \).
Calculons sa dérivée :
\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\]
Question 2: Trouvez les points critiques.
Nous cherchons les solutions de l'équation \( f'(x) = 0 \) :
\[3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0\]
Facteur de l'équation :
\[(x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1, x = 3\]
Question 3: Analysez la nature des points critiques à l'aide de \( f''(x) \).
\[f''(x) = 6x - 12\]
Pour \( x = 1 \): \( f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 \) (maximum local)
Pour \( x = 3 \): \( f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 \) (minimum local)
Question 4: Écrivez l'équation de la tangente à \( f(x) \) au point \( x = 1 \).
On trouve \( f(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \) et \( f'(1) = 0 \). L'équation est :
\[y - 4 = 0 \implies y = 4\]
Question 5: Écrivez l'équation de la tangente au point \( x = 3 \).
On trouve \( f(3) = 3 \), \( f'(3) = 0 \). L'équation est :
\[y - 3 = 0 \implies y = 3\]
Question 6: Quelle est l'interprétation graphique de ces tangentes ?
Voici le graphique de la fonction et de ses tangentes :
Question 7: Résumez votre analyse de la fonction.
La fonction a un maximum local en \( x = 1 \) et un minimum local en \( x = 3 \). Les tangentes sont horizontalement à ces points.
Points clés à retenir
- La dérivée est essentielle pour déterminer les tangentes et optimiser les fonctions.
- Les points critiques indiquent les maxima et minima locaux.
- La méthode de la dérivée seconde aide à examiner la concavité.
- L'équation de la tangente prend une forme particulière.
- Utiliser des graphiques aide à visualiser les relations.
Définitions importantes
- Dérivée : Mesure le taux de changement d'une fonction par rapport à une variable.
- Tangente : Une droite qui touche la courbe en un point donné et a la même pente que la courbe à ce point.
- Point critique : Un point où la dérivée est nulle ou indéfinie, indiquant un potentiel maximum ou minimum.
- Optimisation : Processus de déterminer les valeurs maximales ou minimales d'une fonction.
- Concavité : Caractéristique d'une fonction qui décrit la direction dans laquelle elle "s'incurve".
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