Exercices avancés sur le test de la seconde dérivée
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Exercices avancés sur le test de la seconde dérivée
Dans cet exercice, nous allons étudier les fonctions à l'aide du test de la seconde dérivée pour déterminer la concavité et les points d'inflexion. Considérons la fonction \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \). Répondez aux questions suivantes :Règles du test de la seconde dérivée
- Pour trouver les extremums d'une fonction, il faut d'abord dériver la fonction pour obtenir \( f'(x) \).
- Une fois les valeurs critiques trouvées (où \( f'(x) = 0 \) ou où \( f'(x) \) est indéfini), on dérive à nouveau pour obtenir \( f''(x) \).
- Si \( f''(x) > 0 \) à un point critique, alors \( f(x) \) est concave vers le haut à ce point (minimum local).
- Si \( f''(x) < 0 \), alors \( f(x) \) est concave vers le bas (maximum local).
- Si \( f''(x) = 0 \), le test est inconclusif. D'autres tests ou une analyse plus approfondie doivent être réalisés.
Indications pour le test de la seconde dérivée
- Calculez la première dérivée de \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \).
- Identifiez les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \).
- Calculez la seconde dérivée \( f''(x) \) aux points critiques trouvés.
- Vérifiez le signe de \( f''(x) \) pour tirer des conclusions sur la concavité.
Corrigé des exercices sur le test de la seconde dérivée
1. Calculez la première dérivée :
Nous avons :
\( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x \)
2. Trouvons les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \):
Factorisons :
\( 4x(x^2 - 3x + 3) = 0 \)
Ce qui donne \( x = 0 \) ou les racines de \( x^2 - 3x + 3 = 0 \) (qui n'a pas de réelles racines). Donc, \( x = 0 \) est le seul point critique.
3. Calculons la seconde dérivée :
\( f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 \)
4. Évaluons \( f'' \) en \( x = 0 \):
\( f''(0) = 12(0)^2 - 24(0) + 12 = 12 > 0 \)
Conclusion: À \( x = 0 \), la fonction est concave vers le haut, donc \( x = 0 \) est un minimum local.
Points clés à retenir
- Calculer \( f'(x) \) pour les points critiques.
- Utiliser \( f''(x) \) pour déterminer la concavité.
- Un signe positif indique un minimum, un signe négatif un maximum.
- Les tests de la seconde dérivée ne s'appliquent pas dans tous les cas.
- Les points d'inflexion se produisent là où \( f''(x) = 0 \) et change de signe.
- Rappel : une fonction peut avoir plus d'un point critique.
- Les examens des valeurs limites peuvent être nécessaires pour des conclusions complètes.
- La forme de la dérivée peut donner des indices sur le comportement de la fonction.
- Illustrer graphiquement peut aider à comprendre le comportement de la fonction.
- Pratiquer avec différentes fonctions aide à maîtriser le concept.
Définitions clés
- Dérivée : Mesure de la variation d'une fonction par rapport à sa variable.
- Point critique : Point où la dérivée est zéro ou n'existe pas.
- Concavité : Propriété d'une fonction liée à la direction de sa courbure.
- Minimum local : Point où la fonction prend une valeur inférieure à celles des points voisins.
- Maximum local : Point où la fonction prend une valeur supérieure à celles des points voisins.
- Point d'inflexion : Point où la concavité de la fonction change.
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