Analyser la concavité avec le test de la seconde dérivée
Apprenez à déterminer la concavité des fonctions par le biais d'exercices corrigés sur le test de la seconde dérivée pour les élèves de collège et lycée.
Analyse de la concavité par le test de la seconde dérivée
Dans cet exercice, nous allons analyser la concavité d'une fonction à l'aide du test de la seconde dérivée. Nous considérerons la fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Répondez aux questions suivantes :- 1. Quelle est la première dérivée de \( f(x) \) ?
- 2. Calculez la seconde dérivée de \( f(x) \).
- 3. Trouvez les points critiques de la fonction.
- 4. Déterminez la concavité de la fonction dans les intervalles définis par les points critiques.
- 5. Identifiez les points d'inflexion de la fonction.
- 6. Représentez graphiquement la fonction et indiquez les points critiques ainsi que les points d'inflexion.
Règles et Méthodes pour le Test de la Seconde Dérivée
- La première dérivée \( f'(x) \) permet de trouver les points critiques.
- La seconde dérivée \( f''(x) \) permet de déterminer la concavité:
- Si \( f''(x) > 0 \), la fonction est convexe (concave vers le haut).
- Si \( f''(x) < 0 \), la fonction est concave (concave vers le bas).
- Si \( f''(x) = 0 \), il peut y avoir un point d'inflexion.
- Pour trouver les points d'inflexion, résolvez \( f''(x) = 0 \).
Indications pour Résoudre l'Exercice
- Commencez par calculer \( f'(x) \) et \( f''(x) \).
- Trouvez les racines de \( f'(x) \) pour localiser les points critiques.
- Analysez \( f''(x) \) aux points critiques pour déterminer la concavité.
- Identifiez et vérifiez les changements de signe pour \( f''(x) \) afin de trouver les points d'inflexion.
- Utilisez un graphique pour visualiser les résultats.
Solutions Détailleés aux Questions
1. Première dérivée de \( f(x) \):
Calculons la première dérivée :\[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x\]
2. Seconde dérivée de \( f(x) \):
Calculons la seconde dérivée :\[f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6\]
3. Points critiques:
Pour trouver les points critiques, résolvons \( f'(x) = 0 \) :\[3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \, \text{ou} \, x = 2\]
4. Concavité:
Analysons \( f''(x) \) :\[f''(x) = 6x - 6\]Testons les intervalles autour des points critiques \( x = 0 \) et \( x = 2 \):- Pour \( x < 0 \) : \( f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0 \) (concave)- Pour \( 0 < x < 2 \) : \( f''(1) = 6(1) - 6 = 0 \) (changement de concavité)- Pour \( x > 2 \) : \( f''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0 \) (convexe)La fonction est concave jusqu'à \( x = 2 \) et devient convexe après.
5. Points d'inflexion:
Le point d'inflexion se produit lorsque \( f''(x) = 0 \):\[6x - 6 = 0 \implies x = 1\]
6. Représentation graphique:
Utilisons Chart.js pour représenter graphiquement la fonction et indiquer les points critiques et d'inflexion.
Points Clés à Retenir
- Test de la seconde dérivée pour déterminer la concavité.
- Les points critiques proviennent de la première dérivée.
- Les points d'inflexion sont identifiés par la seconde dérivée.
- Analyse des signes de \( f''(x) \) pour conclure sur la concavité.
- Représentation graphique aide à visualiser la concavité et les points d'inflexion.
- Utiliser les valeurs critiques pour délimiter les intervalles d'analyse.
- Comprendre le changement de concavité peut aider à prédire le comportement de la fonction.
- Les points critiques ne sont pas nécessairement des extrema.
- La concavité influence l'augmentation ou la diminution des fonctions.
- Les dérivées successives fournissent des informations cumulatives sur la fonction.
Définitions Importantes
- Dérivée : Mesure du taux de changement d'une fonction par rapport à sa variable.
- Seconde dérivée : Dérivée de la dérivée, qui donne des informations sur la concavité.
- Point critique : Valeur de \( x \) où la première dérivée est nulle ou indéterminée.
- Concavité : La manière dont une fonction se courbe; peut être vers le haut ou vers le bas.
- Point d'inflexion : Point où la concavité change.
Exercices intermédiaires sur les dérivées successives corrigés 
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