Exercices appliqués du test de la seconde dérivée
Apprenez en pratiquant avec des exercices appliqués et corrigés sur le test de la seconde dérivée, conçus pour enrichir vos connaissances académiques.
Exercice : Test de la seconde dérivée
Considérons la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Répondez aux questions suivantes concernant cette fonction.Règles du test de la seconde dérivée
- Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Le test de la seconde dérivée indique que si $f''(x) > 0$ alors $f(x)$ a un minimum local en $x$.
- Si $f''(x) < 0$ alors $f(x)$ a un maximum local en $x$.
- Si $f''(x) = 0$, le test est indéterminé : on doit examiner d'autres outils comme le test de la première dérivée.
Indications pour analyser la fonction
- Calculez $f'(x)$ et résolvez $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
- Calculez $f''(x)$ pour déterminer la nature de chaque point critique.
- Tracez le graphe de la fonction pour visualiser les maximums et minimums.
Solutions détaillées des questions
Question 1: Calculez la première dérivée $f'(x)$.
Nous avons $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$.
En dérivant, nous obtenons :
$$f'(x) = 3x^2 - 6x.$$
Question 2: Trouver les points critiques.
Nous résolvons $f'(x) = 0$ :
$$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \, \text{ou} \, x = 2.$$
Question 3: Analysez chaque point critique avec $f''(x)$.
Calculez la seconde dérivée :
$$f''(x) = 6x - 6.$$
Maintenant, évaluons $f''(x)$ aux points critiques :
Pour $x = 0$ :
$$f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \implies \text{Maximum local en } x = 0.$$
Pour $x = 2$ :
$$f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \implies \text{Minimum local en } x = 2.$$
Question 4: Quelles sont les coordonnées des points critiques ?
Calculons $f(0)$ et $f(2)$ :
$$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4,$$
$$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 0.$$
Les points critiques sont $(0, 4)$ et $(2, 0)$.
Question 5: Tracez le graphe de la fonction.
Pour tracer le graphe :
Question 6: Interprétez graphiquement les points critiques.
Le point $(0, 4)$ est un maximum local à la partie supérieure du graphe, et $(2, 0)$ est un minimum local à la partie inférieure.
Question 7: Donnez une conclusion sur le comportement de $f$.
La fonction $f(x)$ présente un maximum local à $x = 0$ et un minimum local à $x = 2$. Son comportement en dehors de ces points critiques est croissant sous $x = 0$ et décroissant au-delà de $x = 2$.
Points clés à retenir
- Le test de la seconde dérivée permet d'identifier les points de maximum et minimum locaux.
- Une seconde dérivée positive indique un minimum local.
- Une seconde dérivée négative indique un maximum local.
- Si la seconde dérivée est nulle, un autre test est nécessaire.
- Les points critiques sont trouvés en résolvant $f'(x) = 0$.
- Documenter les pentes et courbures aide à comprendre le comportement d'une fonction.
- Le tracé des fonctions est essentiel pour une compréhension complète.
- Utiliser les dérivées pour optimiser des problèmes est une compétence clé.
- La continuité de la fonction est primordiale pour appliquer le test.
- Les graphiques offrent une vraie représentation visuelle des analyses mathématiques.
Définitions importantes
- Fonction dérivable : Une fonction $f$ est dérivable en un point si la dérivée en ce point existe.
- Point critique : Un point $x$ où $f'(x) = 0$ ou $f'$ est indéfini.
- Maximum local : Un point où la fonction atteint une valeur supérieure à celles de ses voisins immédiats.
- Minimum local : Un point où la fonction atteint une valeur inférieure à celles de ses voisins immédiats.
- Seconde dérivée : La dérivée de la dérivée, $f''(x)$, qui aide à analyser la concavité de $f$.
- Croissante : Si $f'(x) > 0$ pour un intervalle donné, la fonction est croissante dans cet intervalle.
- Décroissante : Si $f'(x) < 0$ pour un intervalle donné, la fonction est décroissante dans cet intervalle.
- Dérivée : Une mesure de combien une fonction change à un point donné.
- Graphique de la fonction : Une représentation visuelle de la relation entre les valeurs d'entrées et de sorties de la fonction.
- Optimisation : L'application des dérivées pour résoudre des problèmes d'optimisation où l'on cherche des valeurs maximales ou minimales.
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