Histogrammes et distributions Exercices corrigés pour lycéens
Comprenez mieux les distributions avec ces exercices corrigés sur les histogrammes. Parfait pour les lycéens en quête de réussite.
Exercice sur les Histogrammes et Distributions
Un enseignant a collecté les notes de 30 élèves d'une classe après un examen de mathématiques. Les notes sont les suivantes : 12, 14, 15, 10, 16, 12, 13, 14, 18, 15, 11, 14, 16, 15, 19, 20, 18, 15, 10, 17, 16, 14, 13, 19, 18, 20, 12, 11, 18, 17. À partir de ces données, nous allons répondre aux questions suivantes :- Question 1 : Quelle est la moyenne des notes ?
- Question 2 : Quel est l'écart-type des notes ?
- Question 3 : Tracez l'histogramme des notes.
- Question 4 : Quelle est la médiane des notes ?
- Question 5 : Déterminez les notes qui se situent dans le premier et le troisième quartile.
Règles et Formules Clés
- La moyenne est calculée en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre total de valeurs.
- L'écart-type mesure la dispersion des données par rapport à la moyenne.
- Pour tracer un histogramme, divisez les données en intervalles égaux (bins) et comptez le nombre d'observations dans chaque intervalle.
- La médiane est la valeur qui sépare les données en deux parties égales.
- Les quartiles divisent les données en quatre parties égales.
Indications pour Résoudre les Exercices
- Pour calculer la moyenne, utilisez :
\text{Moyenne} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
où \( n \) est le nombre total de notes. - Pour l'écart-type, utilisez :
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \text{moyenne})^2}{n}}
- Pour la médiane, triez les valeurs et trouvez le milieu.
- Construisez un histogramme en utilisant une application graphique.
- Pour les quartiles, utilisez la méthode de partition des données triées.
Solutions Détailées
Question 1 : Moyenne des notes
Pour calculer la moyenne :
\text{Moyenne} = \frac{12 + 14 + 15 + 10 + 16 + 12 + 13 + 14 + 18 + 15 + 11 + 14 + 16 + 15 + 19 + 20 + 18 + 15 + 10 + 17 + 16 + 14 + 13 + 19 + 18 + 20 + 12 + 11 + 18 + 17}{30} = \frac{ 460 }{30} = 15.33
Question 2 : Écart-type des notes
Calcul de l'écart-type :
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - 15.33)^2}{30}} .
Calculons les différences et les carrés:
- -3.33^2 = 11.0889
- -1.33^2 = 1.7689
- ...
- : (poursuivre pour toutes les notes)
Additionnez tous les carrés et suivez la formule de l'écart-type. Cela donnera un écart-type d'environ 2.35.
Question 3 : Histogramme des notes
Question 4 : Médiane des notes
Après avoir trié les notes : 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20.
Il y a 30 notes, donc la médiane est la moyenne des 15e et 16e valeurs :
\text{Médiane} = \frac{15 + 15}{2} = 15
Question 5 : Quartiles
Les données triées sont : 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20.
Q1 se trouve à la position 25% de 30 = 7.5, donc Q1 est entre 12 (7ème position) et 13 (8ème position) :
Q1 = \frac{12 + 13}{2} = 12.5
Q3 se trouve à la position 75% de 30 = 22.5, donc Q3 est entre 16 (22ème position) et 17 (23ème position) :
Q3 = \frac{16 + 17}{2} = 16.5
Points Clés à Retenir
- La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.
- L'écart-type mesure la dispersion des données.
- Un histogramme aide à visualiser la distribution des données.
- La médiane est moins affectée par les valeurs extrêmes que la moyenne.
- Les quartiles divisent les données en quatre parties égales.
- Les données doivent être triées pour trouver la médiane et les quartiles.
- Un histogramme doit avoir des intervalles clairs.
- Un écart-type faible signifie que les valeurs sont proches de la moyenne.
- Les boxplots peuvent facilement montrer les quartiles.
- Le choix de la taille des bins peut influencer l'apparence de l'histogramme.
Définitions Importantes
- Moyenne : La somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs.
- Écart-type : Mesure qui indique la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
- Médiane : La valeur au centre d'un ensemble de données ordonnées.
- Quartiles : Valeurs qui divisent un ensemble de données ordonnées en quatre parties égales.
- Histogramme : Représentation graphique qui montre la distribution d'un ensemble de données.