Exercices Corrigés Logarithmes de Base 10
Découvrez des exercices faciles avec solutions sur les logarithmes de base 10 pour renforcer votre compréhension à travers des corrigés détaillés.
Exercice Corrigé sur les Logarithmes de Base 10
Voici un exercice sur les logarithmes de base 10. Résoudre les questions suivantes :- 1. Calculez \( \log_{10} 1000 \).
- 2. Déterminez la valeur de \( x \) dans \( \log_{10} x = 3 \).
- 3. Résoudre l'équation \( 2 \log_{10} x = 4 \).
- 4. Exprimez \( \log_{10} (50) + \log_{10} (2) \) sous une seule forme.
- 5. Montrez que \( \log_{10} (x^2) = 2 \log_{10} x \) est vrai pour tout \( x > 0 \).
Règles et Formules des Logarithmes
- Pour tout \( a > 0 \) et \( a \neq 1 \) et pour tout \( x > 0 \), on a :\[\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\]
- \[\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y\]
- \[\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x\]
- Propriétés des logarithmes:\begin{itemize}
- \(\log_a a = 1\)
- \(\log_a 1 = 0\) \end{itemize>
Indications
Pour résoudre des logarithmes de base 10 :- Identifiez les propriétés des logarithmes à utiliser.
- Faites attention aux règles de réciprocité entre exponentiation et logarithme.
- Pour des équations, essayez d'isoler le logarithme.
Corrections Détails Étape par Étape
1. Calculez \( \log_{10} 1000 \).
Nous savons que \( 1000 = 10^3 \). Dès lors, \[\log_{10} 1000 = 3.\]
2. Déterminez \( x \) dans \( \log_{10} x = 3 \).
En exponentiant, nous obtenons \( x = 10^3 = 1000 \).
3. Résoudre \( 2 \log_{10} x = 4 \).
Divisons par 2 :\[\log_{10} x = 2.\]Ensuite, exponentions pour obtenir \( x = 10^2 = 100 \).
4. Exprimez \( \log_{10} (50) + \log_{10} (2) \).
Utilisons la première propriété :\[\log_{10} (50 \times 2) = \log_{10} (100) = 2.\]
5. Montrez que \( \log_{10} (x^2) = 2 \log_{10} x \).
Appliquons la troisième propriété :\[\log_{10} (x^2) = 2 \cdot \log_{10} x.\]Ainsi, la propriété est vérifiée.
Points Clés à Retenir
- Le logarithme inverse l’opération d’exponentiation.
- Les logarithmes simplifient souvent les multiplications en additions.
- La base 10 est utilisée pour les logarithmes décimaux communs.
- Les logarithmes peuvent être utilisés pour résoudre des équations exponentielles.
- Il est important de comprendre les propriétés des logarithmes.
- Ils sont utiles dans des applications pratiques telles que le calcul du pH.
- Un \( \log_{10} 1 \) est toujours 0.
- Un \( \log_{10} 10 \) est toujours 1.
- L’utilisation des logarithmes peut transformer des chiffres très grands ou très petits en nombres gérables.
- Les logarithmes sont utilisés dans des domaines variés comme la biologie, la chimie et l'économie.
Dictionnaire des Termes
- Logarithme : Un moyen d'exprimer une puissance à laquelle une base doit être élevée pour obtenir un certain nombre.
- Base : Le nombre qui est multiplié par lui-même dans une fonction exponentielle.
- Propriété des Logarithmes : Régles mathématiques qui régissent l'addition, la soustraction et la multiplication des logarithmes.
- Exponentialisation : Processus d'inverser une opération logarithmique.