Exercices Corrigés Trouver la Base d'un Logarithme

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Exercices Corrigés : Trouver la Base d'un Logarithme

Utilisez cet exercice pour découvrir comment trouver la base d'un logarithme à travers différentes questions théoriques et pratiques.

Règles et Formules pour les Logarithmes

Pour tout nombre positif a ≠ 1, on définit le logarithme en base a : \( \log_a(x) = y \) si et seulement si \( a^y = x \).
La base doit toujours être un nombre positif et différent de 1.
Changement de base : \( \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \) pour tout c > 0.
Propriétés des logarithmes :
- Multiplication : \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \).
- Division : \( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \).
- Exponentiation : \( \log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x) \).

Indications pour Comprendre les Logarithmes

Déterminez d'abord si le nombre dont vous trouvez le logarithme est supérieur à 1.
Utilisez la règle du changement de base si nécessaire.
Représentez graphiquement les fonctions logarithmiques pour mieux comprendre leur comportement.

graph TD; A[Déterminer \(x\)] --> B{Est-ce que \(x > 1\)?} B -- Oui --> C["Appliquer la formule \(y = \log_a(x)\)"] B -- Non --> D["Utiliser le changement de base"]

Solutions Détaillées des Exemples

1. Question : Trouvez la base a si \( \log_a(8) = 3 \).
Solution :
Nous savons que \( a^3 = 8 \).
Soit a = \( \sqrt[3]{8} = 2 \), donc \( \log_2(8) = 3 \).

2. Question : Calculez \( \log_2(16) \).
Solution :
On a \( 2^y = 16 \).
En résolvant, \( y = 4 \), donc \( \log_2(16) = 4 \).

3. Question : Trouvez a si \( \log_a(27) = 3 \).
Solution :
Donc, \( a^3 = 27 \rightarrow a = 3 \).

4. Question : Si \( y = \log_3(81) \), quelle est la base ?
Solution :
On sait que \( 3^4 = 81 \rightarrow y = 4 \).

5. Question : Calculez \( \log_5(125) \).
Solution :
On a \( 5^y = 125 \rightarrow y = 3 \), donc \( \log_5(125) = 3 \).

6. Question : Changez la base de \( \log_2(32) \) en base 10.
Solution :
Utilisez \( \log_{10}(32) / \log_{10}(2) \approx 5 \).

7. Question : Trouvez la valeur de \( \log_a(100) \) si \( a = 10 \).
Solution :
On sait que \( \log_{10}(100) = 2 \).

graph TD; A[Question] -->|Resoudre| B{Calculer} B --> C[Estimer base] B --> D[Utiliser propriétés]

Points Clés à Retenir sur les Logarithmes

Les logarithmes sont l'inverse des exponentiations.
La base doit toujours être positive et différente de 1.
Utilisez les propriétés des logarithmes lors des calculs.
Le changement de base est très utile pour les calculs divers.
Graphiquement, les logarithmes sont croissants.
La courbe du logarithme ne touche jamais l'axe des abscisses (elle ne croise jamais x = 0).
Logarithme népérien \( \ln(x) = \log_e(x) \) est très utilisé.
Si \( a < b \), alors \( \log_a(b) > 1 \).
Connaître les logarithmes de base 10 et base e peut aider dans beaucoup de cas.
Pratiquez avec diverses bases pour bien comprendre le phénomène.

Definitions Essentielles

Logarithme : L'exposant auquel un nombre donné (la base) doit être élevé pour obtenir un autre nombre.
Base : Le nombre positif à la puissance duquel l'exposant est appliqué dans une fonction logarithmique.
Propriétés des logarithmes : Les différentes règles qui facilitent le calcul des logarithmes.
Changement de base : La méthode permettant de convertir un logarithme d'une base à une autre.

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