Exercices Corrigés Applications des Logarithmes en Mathématiques
Plongez dans des exercices corrigés sur les applications des logarithmes en mathématiques, parfaits pour renforcer votre savoir-faire et votre confiance.
Exercices Corrigés sur les Applications des Logarithmes
Pour maîtriser les fonctions logarithmiques, nous allons résoudre plusieurs questions qui porteront sur leur compréhension et leur application. Voici les questions à résoudre :- Question 1 : Calculez \( \log_2(32) \).
- Question 2 : Résolvez l'équation \( \log_x(81) = 4 \).
- Question 3 : Pour quelle valeur de \( y \) a-t-on \( \log_3(y) = 3 \) ?
- Question 4 : Simplifiez l'expression \( \log(100) + \log(10) \).
- Question 5 : Dessinez le graphique de la fonction \( f(x) = \log_2(x) \) pour \( x > 0 \).
- Question 6 : Déterminez la base \( b \) telle que \( \log_b(49) = 2 \).
Règles Essentielles des Logarithmes
- Règle du produit : \( \log_b(m \cdot n) = \log_b(m) + \log_b(n) \)
- Règle du quotient : \( \log_b\left(\frac{m}{n}\right) = \log_b(m) - \log_b(n) \)
- Règle de la puissance : \( \log_b(m^n) = n \cdot \log_b(m) \)
- Changement de base : \( \log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)} \)
- Logarithme de 1 : \( \log_b(1) = 0 \)
- Logarithme de la base : \( \log_b(b) = 1 \)
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifiez la base du logarithme pour chaque problème.
- Utilisez les règles mentionnées ci-dessus pour simplifier les expressions.
- Considérez la définition des logarithmes pour résoudre les équations exponentielles.
- Pour le dessin des graphiques, tracer les axes et identifier les points clés.
Corrections Détailées des Questions
Correction de la Question 1
Nous devons calculer \( \log_2(32) \). Comme \( 32 = 2^5 \), alors :
\( \log_2(32) = \log_2(2^5) = 5 \cdot \log_2(2) = 5 \)
Correction de la Question 2
Nous avons \( \log_x(81) = 4 \). Cela implique que \( x^4 = 81 \). En résolvant cette équation :
On sait que \( 81 = 3^4 \), donc \( x^4 = 3^4 \) et \( x = 3 \).
Correction de la Question 3
Pour \( \log_3(y) = 3 \), \( y \) doit être \( 3^3 = 27 \).
Correction de la Question 4
Utilisons la règle du produit :
\( \log(100) + \log(10) = \log(1000) = 3 \).
Correction de la Question 5
Pour tracer \( f(x) = \log_2(x) \) :
Correction de la Question 6
Nous cherchons \( b \) tel que \( \log_b(49) = 2 \). Cela donne \( b^2 = 49 \), donc \( b = 7 \).
Points Clés à Retenir sur les Logarithmes
- Le logarithme est l'inverse de l'exponentiation.
- Les logarithmes facilitent le traitement des grandes valeurs.
- Une connaissance des propriétés logarithmiques est essentielle.
- Les logarithmes peuvent être appliqués pour résoudre des équations exponentielles.
- Graphiquement, \( \log_b(x) \) est toujours croissante.
- Les logarithmes de bases différentes peuvent être convertis.
- Le logarithme de 0 n'est pas défini.
- La base du logarithme doit être positive et différente de 1.
- Les calculatrices peuvent aider à évaluer les logarithmes.
- Les applications des logarithmes sont multiples en sciences.
Definitions des Termes Utilisés
- Logarithme : Inverse de l'exponentiation, exprimant la puissance à laquelle une base doit être élevée.
- Base : Le nombre utilisé dans un logarithme, noté \( b \) dans \( \log_b(a) \).
- Argument : La valeur dont on veut obtenir le logarithme, noté \( a \).
- Propriétés Logarithmiques : Règles mathématiques gouvernant l'utilisation des logarithmes.
- Equation Logarithmique : Une équation où le logarithme d'une variable est impliqué.