Comprendre les Fonctions Logarithmiques Exercices Corrigés Faciles
Maîtrisez la définition des fonctions logarithmiques avec ces exercices corrigés faciles, spécialement conçus pour les collégiens et lycéens.
Exercices Sur Les Fonctions Logarithmiques
Énoncé : Voici des exercices pour comprendre les fonctions logarithmiques. Répondez aux questions suivantes :- 1. Définissez une fonction logarithmique.
- 2. Trouvez le domaine de la fonction \( f(x) = \log(x - 2) \).
- 3. Calculez \( f(3) \) pour la fonction \( f(x) = \log_2(x) \).
- 4. Résoudre l'équation \( \log(x) = 2 \).
- 5. Tracez le graphique de la fonction \( f(x) = \log_{10}(x) \) pour \( x \) dans l'intervalle \([1, 10]\).
Règles et Propriétés des Fonctions Logarithmiques
- 1. Le logarithme est l'inverse de l'exponentiation.
- 2. Pour tout \( a > 0 \) et \( a \neq 1 \), \( \log_a(x) \) est défini pour \( x > 0 \).
- 3. Les propriétés : \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \)
- 4. \( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \)
- 5. Pour \( x = a^y \), on a \( \log_a(x) = y \).
Indications pour Résoudre les Exercices
- 1. Pour définir une fonction, rappelez-vous de la forme \( f(x) = \log_a(x) \).
- 2. Pour trouver le domaine, considérez quand l'argument du logarithme est positif.
- 3. Utilisez les valeurs connues pour le calcul direct.
- 4. Transformez l'équation logarithmique en exponentielle pour la résoudre.
- 5. Utilisez un tableur ou un logiciel pour dessiner le graphique de la fonction logarithmique.
Solutions Détailées des Exercices
1. **Définir une fonction logarithmique** : Une fonction logarithmique est une fonction de la forme \( f(x) = \log_a(x) \), où \( a \) est la base du logarithme. Cette fonction donne la puissance à laquelle il faut élever \( a \) pour obtenir \( x \).
2. **Domaine de \( f(x) = \log(x - 2) \)** : Pour que le logarithme soit défini, l'argument \( x - 2 \) doit être positif. Donc, \( x - 2 > 0 \) ce qui implique que \( x > 2 \). Le domaine est donc \( ]2, +\infty[ \).
3. **Calculer \( f(3) \) pour \( f(x) = \log_2(x) \)** : Cela revient à \( f(3) = \log_2(3) \). On peut approximer cette valeur en utilisant une calculatrice : \( \log_2(3) \approx 1.585 \).
4. **Résoudre \( \log(x) = 2 \)** : Cela équivaut à \( x = 10^2 \) donc \( x = 100 \).
5. **Tracer le graphique de \( f(x) = \log_{10}(x) \)** : Cela peut être fait en utilisant Chart.js. Voici un exemple de code :
Points Clés à Retenir
- 1. Le logarithme est l'inverse de l'exponentiation.
- 2. Il est défini seulement pour des valeurs positives.
- 3. Les propriétés logarithmiques facilitent les calculs.
- 4. Chaque logarithme peut être converti en forme exponentielle.
- 5. Les fonctions logarithmiques croissent lentement.
- 6. Le domaine dépend de l'argument du logarithme.
- 7. Il existe plusieurs bases pour les logarithmes (10, e, 2).
- 8. Le log de 1 est toujours zéro.
- 9. L'étude des logarithmes est fondamentale en mathématiques appliquées.
- 10. La représentation graphique est essentielle pour visualiser les fonctions.
Définitions Importantes
- 1. **Logarithme** : Fonction qui répond à la question « quelle puissance doit-on élever une base pour obtenir un certain nombre ? ».
- 2. **Base** : Le nombre qui est élevé à une puissance (ex. 10 dans \( \log_{10}(x) \)).
- 3. **Domaine** : Ensemble des valeurs d'entrée pour lesquelles la fonction est définie.
- 4. **Image** : Valeur de sortie de la fonction pour une valeur donnée d'entrée.
- 5. **Équation logarithmique** : Équation où le logarithme est utilisé pour établir une relation entre les variables.