Exercices Corrigés sur les Fonctions Logarithmiques Niveau Intermédiaire
Testez vos connaissances avec nos exercices corrigés de niveau intermédiaire sur les fonctions logarithmiques. Idéal pour les élèves du collège et lycée!
Exercices Corrigés sur les Fonctions Logarithmiques
Voici quelques exercices pour vous aider à comprendre les fonctions logarithmiques. Répondez aux questions suivantes :- Définissez la fonction logarithmique.
- Calculez \(\log_2(8)\).
- Résolvez l'équation \(\log_x(49) = 2\).
- Évaluez la fonction \(f(x) = \log(x^2 + 1)\) pour \(x = 3\).
- Graphique de la fonction \(f(x) = \log(x)\) sur le domaine \((0,10)\).
- Montrez que \(\log(ab) = \log(a) + \log(b)\) pour \(a, b > 0\).
- Résolvez \(\log_3(x + 1) - \log_3(x - 2) = 1\).
- Discutez la croissance de la fonction \(f(x) = \log(x)\). Comment cela se compare-t-il à une fonction exponentielle?
Règles et Formules des Fonctions Logarithmiques
- Définition : La fonction logarithmique \(\log_b(a)\) est l'exposant auquel il faut élever \(b\) pour obtenir \(a\).
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Propriétés importantes :
- \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
- \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)
- \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)
- Changement de base : \(\log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)}\)
- Domaine : \(x > 0\)
Indications pour Résoudre les Exercices
- Utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier l’expression.
- Vérifier que la base du logarithme est toujours positive et différente de 1.
- Utilisez le graphique pour visualiser les comportements des fonctions logarithmiques.
Corrigés des Exercices
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Définition :La fonction logarithmique peut être définie par :
\(\log_b(a) = c \iff b^c = a\)
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Calcul de \(\log_2(8)\) :Nous savons que \(2^3 = 8\), donc :
\(\log_2(8) = 3\)
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Résoudre \(\log_x(49) = 2\) :Cela signifie que \(x^2 = 49\). Ainsi :
\(x = \sqrt{49} \longrightarrow x = 7\)
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Évaluer \(f(x) = \log(x^2 + 1)\) pour \(x = 3\) :Calculons :
\(f(3) = \log(3^2 + 1) = \log(9 + 1) = \log(10)\)
- Graphique de \(f(x) = \log(x)\) :
- Propriété des logarithmes :Soit \(a > 0\) et \(b > 0\), nous avons :\[\log(ab) = \log(a) + \log(b)\]Cela peut être prouvé par la définition des logarithmes.
- Résoudre \(\log_3(x + 1) - \log_3(x - 2) = 1\) :En utilisant la propriété ci-dessus, nous avons :\[\log_3\left(\frac{x + 1}{x - 2}\right) = 1 \Rightarrow \frac{x + 1}{x - 2} = 3\]D'où, en multipliant par \(x - 2\), nous obtenons :\[x + 1 = 3(x - 2) \Rightarrow x + 1 = 3x - 6 \Rightarrow 5 = 2x \Rightarrow x = \frac{5}{2}\]
- Discussion sur la croissance :La fonction \(f(x) = \log(x)\) est croissante, mais moins rapidement qu'une fonction exponentielle comme \(g(x) = e^x\). Cela signifie que même si les logarithmes augmentent, leur rythme de croissance est beaucoup plus lent.
Points Clés à Retenir sur les Fonctions Logarithmiques
- Les logarithmes inversent les exponentiations.
- La fonction logarithmique est croissante.
- La fonction ne touche jamais l'axe des ordonnées (asymptote verticale).
- Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes.
- Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes.
- Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant et du logarithme de la base.
- Il n'est possible de prendre le logarithme que pour des valeurs positives.
- Les logarithmes sont utilisés pour résoudre des équations exponentielles.
- Les bases des logarithmes peuvent varier, mais les propriétés sont les mêmes.
- Les logarithmes sont essentiels en mathématiques, surtout en analyse et en calcul.
Définitions et Termes Utilisés
- Logarithme : L'inverse d'une fonction exponentielle.
- Base : Le nombre qui est élevé à une puissance dans une fonction logarithmique.
- Domaine : Les valeurs d'entrée pour lesquelles la fonction logarithmique est définie.
- Propriété : Règles utilisées pour manipuler les logarithmes.
- Asymptote : Une ligne que la courbe d'une fonction approche mais ne touche jamais.