Pratique des Fonctions Logarithmiques avec Exercices Corrigés
Pratiquez vos compétences en mathématiques avec des exercices corrigés sur les fonctions logarithmiques. Apprenez et progressez en toute sérénité!
Pratique des Fonctions Logarithmiques avec Exercices Corrigés
Le logarithme est une fonction importante en mathématiques, particulièrement dans le contexte des exponentielles, de la croissance et de la décroissance. Cet exercice se concentre sur la compréhension et l'application des fonctions logarithmiques.- Question 1: Calculez \( \log_2(8) \).
- Question 2: Résolvez l'équation \( \log(x) + \log(x-3) = 1 \).
- Question 3: Trouvez \( x \) si \( 2^{x} = 16 \).
- Question 4: Simplifiez l'expression \( \log_3(9) + \log_3(27) \).
- Question 5: Trouvez l'inverse de la fonction \( f(x) = \log_{10}(x) \).
- Question 6: Calculez \( \log(1000) \) en base 10.
- Question 7: Déterminez l'ensemble de définition de \( f(x) = \log(x-2) \).
Règles et Méthodes des Fonctions Logarithmiques
- Règle 1: \( \log_b(m \cdot n) = \log_b(m) + \log_b(n) \)
- Règle 2: \( \log_b\left(\frac{m}{n}\right) = \log_b(m) - \log_b(n) \)
- Règle 3: \( \log_b(m^n) = n \cdot \log_b(m) \)
- Règle 4: Pour résoudre \( b^y = x \), on peut écrire \( y = \log_b(x) \).
graph TD;
A[log_b(m)] --> B[log_b(n)];
A --> C[log_b(m*n)];
C --> B;
Indications pour Résoudre les Exercices
- Pour la question sur la résolution d'équations logarithmiques, utilisez la propriété que \( b^{\log_b(a)} = a \).
- Rappelez-vous de vérifier les contraintes de l'argument du logarithme (doit être positif).
- Utilisez les propriétés de la multiplication et de la division pour simplifier les logarithmes.
graph TD;
A[Résoudre log(x)] --> B[Isoler log];
B --> C[Convertir en forme exponentielle];
C --> D[Résoudre l'équation];
Corrections des Exercices
Question 1:
La formule est \( \log_b(x) = y \) si \( b^y = x \). Donc, \[ \log_2(8) = y \implies 2^y = 8 \implies 2^y = 2^3 \implies y = 3. \]Question 2:
\( \log(x) + \log(x-3) = 1 \) se transforme en: \[ \log(x(x-3)) = 1 \implies x(x-3) = 10. \] Résolvons \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) avec la formule quadratique : \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 + 4 \cdot 10}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}. \] Donc \( x_1 = 5 \) et \( x_2 = -2 \) (non valide car \( x > 3 \)).Question 3:
On a \( 2^x = 16 \). Écrivons \( 16 = 2^4 \): \[ x = 4. \]Question 4:
\( \log_3(9) + \log_3(27) = 2 + 3 = 5 \).Question 5:
L'inverse de \( f(x) = \log_{10}(x) \) est \( f^{-1}(x) = 10^x \).Question 6:
\( \log(1000) = \log(10^3) = 3 \).Question 7:
L'ensemble de définition pour \( f(x) = \log(x-2) \) est \( x - 2 > 0 \implies x > 2 \).Points Clés à Retenir
- Les logarithmes sont l'inverse des exposants.
- Les logarithmes de base 10 sont appelés logarithmes décimaux.
- Les logarithmes de base 2 sont courants en informatique.
- Les logarithmes ne sont définis que pour les nombres positifs.
- Les propriétés des logarithmes facilitent le calcul de produits et de quotients.
- Un logarithme peut être négatif si son argument est entre 0 et 1.
- La courbe du logarithme croît lentement.
- Les logarithmes peuvent transformer les multiplications en additions.
- Lorsque nommé, la base du logarithme ne doit pas être 1.
- Les applications des logarithmes sont omniprésentes en sciences et en économie.
Définitions des Termes Utilisés
- Logarithme: L'inverse de l'exponentiation.
- Base: Le nombre qui est élevé à une puissance.
- Argument: Le nombre dont le logarithme est calculé.
- Exposant: La puissance à laquelle la base est élevée.
- Propriétés des Logarithmes: Règles qui simplifient les calculs logarithmiques.