Exercices corrigés avancés sur les fonctions logarithmiques
Pour les étudiants plus avancés, ces exercices corrigés vous aideront à approfondir votre compréhension des graphiques de fonctions logarithmiques.
Exercices corrigés avancés sur les fonctions logarithmiques
Les fonctions logarithmiques sont des outils puissants en mathématiques. Dans cet exercice, nous allons explorer leurs propriétés, leur graphique et résoudre des problèmes liés à ces fonctions. Répondre aux questions suivantes :- Question 1 : Déterminez la fonction inverse de \(f(x) = \log_a(x)\).
- Question 2 : Graphiquement, comment représente-t-on la fonction \(f(x) = \log_2(x)\) entre 1 et 8 ?
- Question 3 : Calculez \(f(10)\) pour la fonction \(f(x) = \log_{10}(x) + 2\).
- Question 4 : Évaluez la limite \(\lim_{x \to 0^+} \log_a(x)\).
- Question 5 : Soit \(g(x) = 3\log_2(x) + 1\). Trouvez l'aire sous la courbe de \(g(x)\) entre \(x=1\) et \(x=4\).
Règles essentielles des fonctions logarithmiques
- Règle 1 : \(f(x) = \log_a(x)\) est définie pour \(x > 0\).
- Règle 2 : \(f(x)\) est croissante si \(a > 1\) et décroissante si \(0 < a < 1\).
- Règle 3 : Le logarithme est la fonction inverse de l'exponentielle : si \(y = \log_a(x)\), alors \(x = a^y\).
- Règle 4 : La limite de \(\log_a(x)\) quand \(x\) approche de 0 est \(-\infty\).
- Règle 5 : L'aire sous la courbe de \(f(x)\) peut être trouvée par intégration.
Indications pour résoudre les exercices
Solutions détaillées des exercices
Question 1
Pour trouver la fonction inverse de \(f(x) = \log_a(x)\), nous remplaçons \(f(x)\) par \(y\):
Donc, \(y = \log_a(x) \Rightarrow x = a^y\), ce qui signifie que la fonction inverse est \(f^{-1}(x) = a^x\).
Question 2
Pour le graphique de \(f(x) = \log_2(x)\), nous allons tracer la fonction pour \(x\) entre 1 et 8. Voici les points :
- \(f(1) = 0\)
- \(f(2) = 1\)
- \(f(4) = 2\)
- \(f(8) = 3\)
Nous utiliserons Chart.js pour représenter cela.
Question 3
Pour \(f(10)\) dans \(f(x) = \log_{10}(x) + 2\), nous substituons \(10\) :
\(f(10) = \log_{10}(10) + 2 = 1 + 2 = 3\).
Question 4
Pour évaluer la limite : \(\lim_{x \to 0^+} \log_a(x)\). En approchant 0, le logarithme tend vers \(-\infty\), donc :
La limite est : \(-\infty\).
Question 5
Pour l'aire sous la courbe de \(g(x) = 3\log_2(x) + 1\) entre 1 et 4 :
Nous intégrons \(g(x)\) :
\[\int_{1}^{4} (3\log_2(x) + 1) \, dx\]Calculons chaque partie :
- \(\int_{1}^{4} 3\log_2(x) \, dx\) et \(\int_{1}^{4} 1 \, dx\).
L’intégration de 1 est simplement \(3\) (hauteur de 1 sur une base de 3 unités).
La première partie nécessite l'utilisation de la méthode d'intégration par partie.
Points clés à retenir
- Les fonctions logarithmiques sont définies uniquement pour \(x > 0\).
- Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes.
- Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes.
- L'aire sous la courbe peut être calculée par intégration.
- Les logarithmes amplifient les petites variations.
- Les logarithmes ont des propriétés uniques sur des bases différentes.
- Les fonctions logarithmiques et exponentielles sont inverses.
- Les courbes inverses des logarithmes sont appelés des exponentielles.
- La croissance logarithmique est plus lente que la linéaire.
- Le logarithme népérien (base \(e\)) est très utilisé en sciences.
Définitions importantes
- Logarithme : L'inverse d'une exponentielle, \(\log_a(x)\) est défini pour \(x\) positif.
- Base : Le nombre \(a\) dans \(\log_a(x)\), qui détermine la fonction logarithmique.
- Inverse de fonction : Si \(f(x)\) est une fonction, \(f^{-1}(x)\) est telle que \(f(f^{-1}(x)) = x\).
- Intégration : Méthode de calcul de l'aire sous une courbe de la fonction sur un intervalle donné.
- Limite : Comportement d'une fonction à l'approche d'un point donné.