Comprendre le graphique des fonctions logarithmiques Exercices pratiques
Des exercices pratiques avec corrections afin de mieux comprendre les graphes des fonctions logarithmiques et leur importance en mathématiques.
Comprendre le graphique des fonctions logarithmiques
L'objectif de cet exercice est de comprendre les propriétés et le graphique des fonctions logarithmiques. Nous allons aborder plusieurs aspects à travers les six questions suivantes.Règles et Propriétés des Fonctions Logarithmiques
- La fonction logarithmique est définie pour des valeurs positives.
- La fonction logarithmique de base \( b \) est notée \( \log_b(x) \).
- Pour \( b > 1 \), la fonction est croissante.
- La fonction passe par le point \( (1, 0) \) car \( \log_b(1) = 0 \).
- La fonction logarithmique d'une multiplication : \( \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \).
- La fonction logarithmique d'une division : \( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) \).
Indications pour Explorer les Fonctions Logarithmiques
- Pour tracer le graphique, identifiez les points clés tels que les intercepts et les asymptotes.
- Utilisez les propriétés logarithmiques pour simplifier les expressions.
- Comparez différents logarithmes (base 10, base e) en traçant plusieurs graphiques.
Corrigés des Questions
Question 1
Tracez le graphique de la fonction \( f(x) = \log_2(x) \).
Pour tracer ce graphique, dessinez quelques points clés:
- Pour \( x=1 \), \( f(1) = \log_2(1) = 0 \)
- Pour \( x=2 \), \( f(2) = \log_2(2) = 1 \)
- Pour \( x=4 \), \( f(4) = \log_2(4) = 2 \)
- Pour \( x=0.5 \), \( f(0.5) = \log_2(0.5) = -1 \)
Le graphique doit être croissant, approchant l’axe des ordonnées pour \( x \to 0^+ \).
Question 2
Calculez \( f(8) \) et expliquez la signification de ce point sur le graphique.
Pour \( x=8 \):
\[f(8) = \log_2(8) = 3 \quad (\text{puisque } 2^3 = 8)\]Ce point \( (8, 3) \) montre que quand nous avons 8 comme entrée, la sortie est 3, indiquant que 2 doit être multiplié par lui-même 3 fois pour obtenir 8.
Question 3
Déterminez l'asymptote de la fonction \( f(x) = \log_2(x) \).
La fonction logarithmique a une asymptote verticale en \( x=0 \). Quand \( x \) approche 0, \( f(x) \) tend vers \( -\infty \).
Question 4
Comparez les graphiques de \( f(x) = \log_{10}(x) \) et \( g(x) = \log_2(x) \).
Question 5
Que se passe-t-il si on prend \( f(x) = \log_{10}(10x) \) ?
Utilisons ici la propriété de logarithme:
\[\log_{10}(10x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x)\]Le graphique de \( f(x) = \log_{10}(10x) \) est donc le graphique de \( \log_{10}(x) \) décalé d'une unité vers le haut.
Question 6
Expliquez le comportement de \( f(x) = \log_b(x) \) pour \( b<1 \).
Lorsque \( b \) est une base inférieure à 1, la fonction logarithmique décroît. Elle passe toujours par \( (1, 0) \) et tend vers \( +\infty \) lorsque \( x \) approche 0.
Points Clés à Retenir
- Les logarithmes sont définis uniquement pour des valeurs positives.
- La fonction logarithmique est croissante si la base est supérieure à 1.
- Elle est décroissante si la base est inférieure à 1.
- La valeur de 0 est atteinte lorsque l'entrée est 1.
- Les logarithmes obéissent à certaines propriétés (multiplication, division).
- Les graphiques des fonctions logarithmiques montrent un comportement intéressant autour de l’axe y.
- Les unités de décalage peuvent modifier la fonction de manière prévisible.
- L'étude comparative des bases peut enrichir la compréhension des fonctions logarithmiques.
- Les asymptotes sont importantes pour la compréhension des limites des fonctions.
- Une analyse des points critiques aide à esquisser des graphiques précis.
Définitions Importantes
- Fonction Logarithmique: Une fonction qui investit l'opération exponentielle inverse.
- Base du Logarithme: Le nombre qui est élevé à une puissance pour obtenir le nombre donné.
- Intercepts: Les points où la fonction croise les axes.
- Asymptote: Une ligne que la fonction approche mais ne touche jamais.
- Croissance/Décroissance: Le comportement général de la fonction sur un intervalle donné.
- Graphique: Une représentation visuelle des valeurs d'une fonction.