Exercices de fonctions logarithmiques Maîtrisez le graphique
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Exercice sur les Fonctions Logarithmiques : Maîtrisez le Graphique
Dans cet exercice, nous allons explorer les fonctions logarithmiques et leur représentation graphique. Répondez aux questions suivantes :- Question 1 : Déterminez l'équation de la courbe logarithmique pour la fonction \( f(x) = \log_2(x) \) dans l'intervalle \( [1, 16] \).
- Question 2 : Quelles sont les coordonnées du point d'intersection entre la fonction \( f(x) = \log_3(x) \) et la droite \( y = 2 \) ?
- Question 3 : Tracez le graphique de la fonction \( f(x) = \ln(x) \) et identifiez son domaine et son image.
- Question 4 : Pour la fonction \( f(x) = a \cdot \log_b(x) \), comment chaque paramètre \( a \) et \( b \) influence-t-il le graphique ?
- Question 5 : Identifiez les asymptotes de la fonction \( f(x) = \log(x - 1) \).
Règles et Méthodes pour les Fonctions Logarithmiques
- La fonction logarithmique est définie pour \( x > 0 \) uniquement.
- Les fonctions logarithmiques sont croissantes dans leur domaine.
- Les axes sont des asymptotes verticales pour les fonctions du type \( f(x) = \log(x - k) \).
- La base \( b \) de la fonction logarithmique détermine la croissance du logarithme.
- Les transformations appliquées à la fonction affectent la position et la forme du graphique.
Indications pour Résoudre les Questions
- Pour déterminer l'équation d'une fonction log, utilisez les propriétés des logarithmes.
- Pour les points d'intersection, résolvez l'équation \( \log_b(x) = y \).
- Utilisez un logiciel de graphisme pour tracer les courbes lorsque nécessaire.
- Analysez les effets des transformations sur la forme de la courbe, notamment les changements de \( a \) et \( b \).
- Identifiez les asymptotes et les points critiques en utilisant le calcul dérivé si nécessaire.
Solutions Détaillées des Questions
Question 1 : Pour \( f(x) = \log_2(x) \) sur \( [1, 16] \), calculons quelques points clés :
- Lorsque \( x = 1 \), \( f(1) = \log_2(1) = 0 \).
- Lorsque \( x = 2 \), \( f(2) = \log_2(2) = 1 \).
- Lorsque \( x = 4 \), \( f(4) = \log_2(4) = 2 \).
- Lorsque \( x = 16 \), \( f(16) = \log_2(16) = 4 \).
Nous obtenons les points \( (1, 0), (2, 1), (4, 2), (16, 4) \). Tracez les points pour dessiner la courbe.
Question 2 : Pour \( f(x) = \log_3(x) \) et \( y = 2 \), résolvez \( \log_3(x) = 2 \).
Ce qui implique \( x = 3^2 = 9 \). Donc, le point d'intersection est \( (9, 2) \).
Question 3 : Pour tracer \( f(x) = \ln(x) \), nous étudions les points suivants :
- Lorsque \( x = 1 \), \( f(1) = 0 \).
- Lorsque \( x = 2 \), \( f(2) \approx 0.693 \).
- Lorsque \( x = e \) (une constante approximativement égale à 2.718), \( f(e) = 1 \).
Le domaine est \( ]0, +\infty[ \) et l'image est \( ]-\infty, +\infty[ \). Pour tracer :
Question 4 : Pour \( f(x) = a \cdot \log_b(x) \), si \( a > 0 \), le graphique s'étend vers le haut, tandis que si \( a < 0 \), il s'inverse. La valeur de \( b \) affecte la rapidité de la montée (plus \( b \) est grand, plus le graphique monte lentement).
Question 5 : Pour \( f(x) = \log(x - 1) \), la fonction n'est pas définie pour \( x \leq 1 \). L'asymptote verticale est donc à \( x = 1 \).
Points Clés à Retenir
- Les fonctions logarithmiques sont croissantes.
- Le domaine d'une fonction logarithmique est toujours \( x > 0 \).
- Identification des points d'intersection avec les lignes horizontales.
- Asymptotes verticales dépendent de la forme de la fonction.
- Transformation des fonctions change la forme du graphique.
- Les logarithmes en bases différentes affectent la vitesse de croissance.
- Les logarithmes sont définis comme l'inverse des fonctions exponentielles.
- Les dérivées des fonctions logarithmiques sont toujours positives pour \( x > 0 \).
- Les courbes logarithmiques approchent \( -\infty \) à mesure que \( x \) se rapproche de 0.
- Fonction logarithmique croise l'axe des abscisses à 1 (par exemple, \( \log_b(b) = 1 \)).
Définitions Essentielles
- Fonction logarithmique : Une fonction de la forme \( f(x) = \log_b(x) \), où \( b \) est la base.
- Domaine : L'ensemble des valeurs que \( x \) peut prendre pour que la fonction soit définie.
- Image : L'ensemble des valeurs de sortie de la fonction.
- Asymptote : Une ligne que la courbe approche mais ne rencontre jamais.
- Transformations : Modifications appliquées à une fonction qui changent son graphique.