Calcul de l'intersection d'une fonction logarithmique Exemples corrigés
Pratiquez le calcul de l'intersection d'une fonction logarithmique avec l'axe des ordonnées grâce à des exemples corrigés qui vous guideront à chaque étape.
Calcul de l'intersection d'une fonction logarithmique : Exemples corrigés
On considère la fonction logarithmique suivante : \( f(x) = \ln(x) \). L'objectif de cet exercice est de déterminer l'intersection de la fonction \( f(x) \) avec l'axe des ordonnées (lorsque \( x = 1 \)). Répondez aux questions suivantes :- Quelle est la valeur de \( f(1) \) ?
- Quel est le comportement de la fonction logarithmique lorsque \( x \) approche 0 ?
- Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de \( f(x) \) au point d'intersection avec l'axe des ordonnées ?
- Graphiquement, comment reconnaître l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnés ?
- Que peut-on dire de l'évolution de \( f(x) \) pour \( x > 1 \) ?
Règles concernant les fonctions logarithmiques
- La fonction logarithmique \( f(x) = \ln(x) \) est définie pour \( x > 0 \).
- La valeur de \( \ln(1) \) est égale à 0.
- En \( x = 0 \), \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \).
- La dérivée de \( \ln(x) \) est \( \frac{1}{x} \).
- La tangente à un point donné de la courbe peut être calculée en utilisant la pente obtenue grâce à la dérivée.
Indications pour résoudre l'exercice
- Pour déterminer l'intersection, évaluez \( f(1) \).
- Utilisez l'équation de la tangente pour définir la pente au point d'intersection.
- Tracez le graphique de \( f(x) \) pour visualiser les intersections.
- Comparez la valeur de \( f(x) \) pour différents \( x \) pour discuter de l'évolution de la fonction.
Solutions détaillées des questions
Question 1 :
Pour trouver \( f(1) \), on sait que :
\[f(1) = \ln(1) = 0\]Donc, l'intersection avec l'axe des ordonnées est le point \( (1, 0) \).
Question 2 :
À mesure que \( x \) approche 0, \( \ln(x) \) tend vers \( -\infty \), ce qui signifie que la fonction diverge négativement.
Question 3 :
La dérivée de la fonction est :
\[f'(x) = \frac{1}{x}\]En \( x = 1 \), cela donne :
\[f'(1) = 1\]Donc la pente de la tangente est 1, et la forme de l'équation de la tangente au point \( (1, 0) \) est :
\[y - 0 = 1(x - 1) \Rightarrow y = x - 1\]Question 4 :
Graphiquement, l'intersection de la courbe \( f(x) \) avec l'axe des ordonnées se produit lorsque la courbe croise l'axe vertical, soit lorsque \( x = 1 \).
Question 5 :
Pour \( x > 1 \), \( f(x) \) est croissante, car la dérivée \( f'(x) \) est positive. Ainsi, plus \( x \) augmente, plus \( f(x) \) augmente.
Points clés à retenir
- La fonction logarithmique est définie seulement pour \( x > 0 \).
- Les valeurs de \( \ln(1) \) sont toujours 0, à l'intersection avec l'axe des ordonnées.
- La fonction logarithmique diverge négativement pour les valeurs proches de 0.
- La pente de la tangente à un point donné est égale à l'inverse de \( x \).
- La fonction \( f(x) \) est croissante pour \( x > 1 \).
- Les intersections avec les axes peuvent être identifiées graphiquement.
- La dérivée permet de déterminer le comportement local de la fonction.
- La fonction logarithmique n'a pas de limite supérieure répertoriée.
- Utilisez un graphique pour visualiser la relation entre \( f(x) \) et les différentes valeurs de \( x \).
- Chaque intersection représente un point clé dans l'étude de la fonction.
Définitions des termes utilisés
- Fonction logarithmique : Fonction de la forme \( f(x) = \ln(x) \).
- Intersection : Point où la fonction croise l'axe des ordonnées.
- Dérivée : Mesure du changement de la fonction, représentée comme \( f'(x) \).
- Équation de tangente : Expression linéaire décrivant le comportement local de la fonction.
- Propriétés asymptotiques : Comportement de la fonction aux bords de son domaine.