Exercices corrigés sur le logarithme d'un produit - Facile
Découvrez nos exercices corrigés faciles sur le logarithme d'un produit. Idéal pour les collégiens et lycéens souhaitant maîtriser cette notion.
Exercices corrigés sur le logarithme d'un produit - Facile
Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés du logarithme d'un produit. Le logarithme d'un produit est donné par la formule suivante :\(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
Voici les questions qui seront traitées :- 1. Calculer \(\log_2(8 \cdot 4)\)
- 2. Si \(\log_3(9) = 2\), quel est \(\log_3(9 \cdot 3)\) ?
- 3. Vérifiez si \(\log_5(25 \cdot 5) = \log_5(25) + \log_5(5)\) est vrai.
- 4. Trouvez la valeur de \(x\) telle que \(\log_4(16 \cdot x) = 4\).
- 5. Si \(\log_{10}(100) = 2\), que vaut \(\log_{10}(1000 \cdot 10)\) ?
- 6. Donnez un exemple d'un produit dont le logarithme est plus simple à calculer que les logarithmes individuels, et expliquez pourquoi.
Règles et formules du logarithme d'un produit
- Logarithme d'un produit : \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
- Pour tout \(b > 0\), \(x > 0\) et \(y > 0\), le logarithme des produits est défini.
- Si \(x = 1\) ou \(y = 1\), alors \(\log_b(x \cdot 1) = \log_b(x)\) et \(\log_b(1 \cdot y) = \log_b(y)\).
- Le logarithme à la base 10 est souvent noté simplement \(\log(x)\).
- Représentation graphique : Le logarithme est une fonction croissante.
Indications pour résoudre les exercices
Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier vos calculs. Voici un diagramme qui montre le processus de résolution :
Solutions détaillées des exercices
1. Calculer \(\log_2(8 \cdot 4)\)
Nous utilisons la propriété :
\(\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4)\)
Calcul : \(\log_2(8) = 3\) et \(\log_2(4) = 2\), donc :
\(\log_2(8 \cdot 4) = 3 + 2 = 5\)
2. Si \(\log_3(9) = 2\), quel est \(\log_3(9 \cdot 3)\) ?
Par la propriété :
\(\log_3(9 \cdot 3) = \log_3(9) + \log_3(3)\)
Donc, \(\log_3(3) = 1\), alors :
\(\log_3(9 \cdot 3) = 2 + 1 = 3\)
3. Vérifiez si \(\log_5(25 \cdot 5) = \log_5(25) + \log_5(5)\) est vrai.
Calculons :
\(\log_5(25 \cdot 5) = \log_5(25) + \log_5(5)\) où \(\log_5(25) = 2\) et \(\log_5(5) = 1\).
Donc, \(\log_5(25 \cdot 5) = 2 + 1 = 3\) : Vrai.
4. Trouvez la valeur de \(x\) telle que \(\log_4(16 \cdot x) = 4\).
Nous avons :
\(\log_4(16) + \log_4(x) = 4\)
Sachant que \(\log_4(16) = 2\) :
Donc, \(2 + \log_4(x) = 4 \implies \log_4(x) = 2\), donc \(x = 4^2 = 16\).
5. Si \(\log_{10}(100) = 2\), que vaut \(\log_{10}(1000 \cdot 10)\) ?
On utilise la propriété :
\(\log_{10}(1000 \cdot 10) = \log_{10}(1000) + \log_{10}(10)\)
Calculons : \(\log_{10}(1000) = 3\) et \(\log_{10}(10) = 1\). Donc :
\(\log_{10}(1000 \cdot 10) = 3 + 1 = 4\)
6. Donnez un exemple d'un produit dont le logarithme est plus simple à calculer que les logarithmes individuels, et expliquez pourquoi.
Exemple : \(\log_{10}(100 \cdot 10) = \log_{10}(1000)\). On sait que :
\(\log_{10}(1000) = 3\), alors que \(\log_{10}(100) = 2\) et \(\log_{10}(10) = 1\), donc \(\log_{10}(100) + \log_{10}(10) = 2 + 1 = 3\).
Points clés à retenir
- La propriété de logarithme d'un produit est fondamentale.
- Se souvenir que \(\log_b(b) = 1\) et \(\log_b(1) = 0\).
- Les logarithmes simplifient souvent les calculs exponentiels.
- Il existe des logarithmes à toutes les bases, mais ceux de 10 et de \(e\) sont les plus courants.
- Utilisez toujours des valeurs positives pour les arguments des logarithmes.
- Les logarithmes ont des applications dans divers domaines, comme la finance et la science.
- Il est important de vérifier les propriétés lors de la manipulation des logarithmes.
- Savoir définir une base de logarithme est crucial pour la compréhension.
- Réaliser des exercices pratiques renforce la théorie.
- Dessiner des graphes peut aider à visualiser la croissance logarithmique.
Définitions des termes utilisés
- Logarithme : L'inverse de la fonction exponentielle, mesurant combien de fois une base doit être multipliée pour obtenir un certain nombre.
- Produit : Le résultat de la multiplication de deux ou plusieurs nombres.
- Base du logarithme : Le chiffre à la puissance duquel il est nécessaire de mettre pour obtenir un certain nombre.
- Égalité logarithmique : Une relation d'égalité qui relie deux logarithmes.
- Argument du logarithme : Le nombre dont on cherche le logarithme.
