Exercices intermédiaires sur le logarithme d'un produit
Améliorez vos compétences avec nos exercices intermédiaires sur le logarithme d'un produit. Idéal pour mieux comprendre cette notion essentielle en maths.
Exercices intermédiaires sur le logarithme d'un produit
Dans cet exercice, nous allons explorer le logarithme d'un produit à travers plusieurs questions. Le logarithme d'un produit est donné par la formule :\[\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\]
Rappelons que cette propriété est essentielle pour simplifier les calculs impliquant des logarithmes. Nous allons également travailler avec des exemples chiffrés pour renforcer votre compréhension.Règles fondamentales des logarithmes
- La formule du logarithme d'un produit.
- Logarithme d'une puissance : \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\).
- Logarithme du quotient : \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\).
- Logarithme de 1 : \(\log_b(1) = 0\).
- Logarithme de la base : \(\log_b(b) = 1\).
Indications pour résoudre les exercices
- Rappelez-vous de la propriété fondamentale du logarithme d'un produit.
- Identifiez les valeurs que vous devez utiliser dans les questions.
- Manipulez les équations en fonction des règles de logarithmes.
- Utilisez des exemples concrets pour pratiquer.
Solutions détaillées des questions
Question 1
Calculer \(\log_2(8 \cdot 4)\).Solution:\[\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4)\]Sachant que \(\log_2(8) = 3\) et \(\log_2(4) = 2\),\[\log_2(8 \cdot 4) = 3 + 2 = 5\]Question 2
Vérifier si \(\log_3(9 \cdot 27)\) est égal à \(\log_3(9) + \log_3(27)\).Solution:\[\log_3(9 \cdot 27) = \log_3(9) + \log_3(27)\]Calculons:\(\log_3(9) = 2\) et \(\log_3(27) = 3\), donc:\[\log_3(9 \cdot 27) = 2 + 3 = 5\]Question 3
Simplifier l'expression \(\log_5(5^4 \cdot 5^2)\).Solution:\[\log_5(5^4 \cdot 5^2) = \log_5(5^{4 + 2}) = \log_5(5^6) = 6\]Question 4
Calculer \(\log_{10}(100 \cdot 1000)\).Solution:\[\log_{10}(100 \cdot 1000) = \log_{10}(100) + \log_{10}(1000) = 2 + 3 = 5\]Question 5
Calculer \(\log_7(49 \cdot 7)\).Solution:\[\log_7(49 \cdot 7) = \log_7(49) + \log_7(7) = 2 + 1 = 3\]Question 6
Voir si \(\log_2(8) + \log_2(2)\) est égal à \(\log_2(16)\).Solution:Calculons:\[\log_2(8) + \log_2(2) = 3 + 1 = 4\]Et \(\log_2(16) = 4\), donc les deux sont égaux.Question 7
Simplifier l'expression \(\log_4(16 \cdot 4)\).Solution:\[\log_4(16 \cdot 4) = \log_4(16) + \log_4(4) = 2 + 1 = 3\]Question 8
Calculer \(\log_3(3 \cdot 81)\).Solution:\[\log_3(3 \cdot 81) = \log_3(3) + \log_3(81)\]Sachant que \(\log_3(3) = 1\) et \(\log_3(81) = 4\),\[\log_3(3 \cdot 81) = 1 + 4 = 5\]Points clés à retenir
- Le logarithme d'un produit se décompose en somme de logarithmes.
- Comprendre la base du logarithme est essentiel.
- Utiliser des exemples pour illustrer les concepts.
- S'appliquer à des équations logarithmiques.
- Travailler avec des valeurs simples pour renforcer la compréhension.
- Les propriétés des logarithmes facilitent les calculs.
- Être attentif aux erreurs fréquentes lors des manipulations.
- Répéter régulièrement les calculs pour mémoriser.
- Visualiser les problèmes à l'aide de schémas.
- Ne pas hésiter à poser des questions chez des pairs ou enseignants.
Définitions importantes
- Logarithme: L’inverse de l’exponentielle; utilise une base pour exprimer un nombre.
- Base du logarithme: Le nombre utilisé comme base pour le logarithme (ex: 10, 2, etc.).
- Produit: Le résultat de la multiplication de deux ou plusieurs nombres.
- Expérience logarithmique: Un processus utilisant des logarithmes pour simplifier des calculs.
- Équation logarithmique: Une équation dans laquelle apparaît un logarithme.