Exercices complexes sur le logarithme d'un produit - Niveau avancé
Testez vos connaissances avec nos exercices complexes sur le logarithme d'un produit. Parfait pour les élèves avancés en mathématiques.
Exercices complexes sur le logarithme d'un produit
Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés du logarithme d'un produit à travers cinq questions. Chaque question sera suivie d'une explication détaillée pour aider à comprendre les concepts.- Question 1: Calculez \( \log(4 \cdot 5) \).
- Question 2: Montrez que \( \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b) \).
- Question 3: Si \( x = 3 \) et \( y = 6 \), calculez \( \log(x \cdot y) \).
- Question 4: Déterminez la valeur de \( \log(50) \) en utilisant la formule de produit avec des logarithmes connus.
- Question 5: Résoudre l'équation \( \log(2x) + \log(3x) = 2 \).
Règles et méthodes sur le logarithme d'un produit
- Règle de produit : \( \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b) \)
- Propriétés de base : \( \log(a^n) = n \cdot \log(a) \)
- Identité : \( \log(1) = 0 \)
- Changement de base : \( \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \)
Indications pour résoudre les exercices
Utiliser les propriétés ci-dessus pour simplifier les calculs.
Pour les produits de logarithmes, rappelez-vous que la multiplication peut être décomposée en sommes de logarithmes.
graph TD; A[Règle de produit] --> B[log(a*b)]; B --> C[log(a) + log(b)]; A --> D[log(a) + log(b)];
Solutions détaillées des questions
Question 1
Calculez \( \log(4 \cdot 5) \).
D'après la règle de produit, nous avons :
\( \log(4 \cdot 5) = \log(4) + \log(5) \).
Nous savons que \( \log(4) = 2 \cdot \log(2) \) et \( \log(5) \) reste inchangé.
Approximation : \( \log(2) \approx 0.301 \) donc \( \log(4) \approx 0.602 \).
Finalement, \( \log(20) \approx 0.602 + 0.699 = 1.301 \).
Question 2
Montrez que \( \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b) \).
Il s'agit d'une propriété fondamentale du logarithme, qui s'applique pour tout \( a, b > 0 \).
Question 3
Si \( x = 3 \) et \( y = 6 \), calculez \( \log(x \cdot y) \).
Ici, on trouve :
\( \log(3 \cdot 6) = \log(18) \).
En utilisant les propriétés précédentes, nous avons \( \log(18) = \log(3) + \log(6) \).
En prenant approches connues, \( \log(3) \approx 0.477 \) et \( \log(6) = \log(2) + \log(3) \approx 0.301 + 0.477 \approx 0.778 \).
Donc, \( \log(18) \approx 0.477 + 0.778 = 1.255 \).
Question 4
Déterminez \( \log(50) \) en utilisant la formule de produit.
En décomposant, :
\( \log(50) = \log(5 \cdot 10) = \log(5) + \log(10) = \log(5) + 1 \).
Nous approchons \( \log(5) \approx 0.699 \) donc \( \log(50) \approx 0.699 + 1 = 1.699 \).
Question 5
Résoudre \( \log(2x) + \log(3x) = 2 \).
D'abord, remplaçons par la règle de produit :
\( \log(6x^2) = 2 \Rightarrow 6x^2 = 10^2 \Rightarrow 6x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = \frac{100}{6} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.082 \).
Points clés à retenir
- Le logarithme d'un produit se décompose en somme de logarithmes.
- Les propriétés du logarithme sont applicables à tout nombre positif.
- Le logarithme de 1 est toujours 0.
- Le logarithme de la base est 1.
- Utilisez des approximations pour les logarithmes de base courants.
- Être attentif aux bases des logarithmes lors du changement de base.
- La règle de l'exposant peut également simplifier les expressions de logarithme.
- Les logarithmes peuvent être utiles pour résoudre des équations exponentielles.
- Les graphiques des logarithmes peuvent aider à visualiser les propriétés.
- La pratique régulière avec les propriétés du logarithme améliore la compréhension.
Définitions et descriptions
- Logarithme : fonction inverse de l'exponentiation.
- Base : le nombre constant dans une expression logarithmique (ex: loga(b)).
- Produit : opération mathématique qui multiplie des nombres.
- Identité logarithmique : relation fondamentale des logarithmes.
- Équation logarithmique : équation incluant des logarithmes.