Entraînement complet sur le logarithme d'un produit - Corrigés inclus

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Entraînement Complet sur le Logarithme d'un Produit

Énoncé : On se propose d'étudier les propriétés du logarithme d'un produit à travers plusieurs exercices pratiques. Répondez aux questions suivantes :

1. Calculez \( \log(12) = \log(4 \times 3) \).
2. Si \( x = 2 \) et \( y = 5 \), trouvez \( \log(xy) \).
3. Montrez que \( \log(a \times b) = \log(a) + \log(b) \) en utilisant des exemples concrets.
4. Estimez \( \log(1000) \) en utilisant les propriétés des logarithmes.
5. Trouvez \( x \) tel que \( \log(x) + \log(10) = 2 \).
6. Vérifiez que \( \log(25) = \log(5^2) \) en explicant chaque étape.

Règles et Propriétés du Logarithme d'un Produit

Règle 1 : \( \log(ab) = \log(a) + \log(b) \)
Règle 2 : \( \log(a^b) = b \cdot \log(a) \)
Règle 3 : \( \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b) \)
Diagramme des propriétés des logarithmes :

graph TD; A[Logarithme] --> B[Log(ab) = Log(a) + Log(b)]; A --> C[Log(a^b) = b * Log(a)]; A --> D[Log(a/b) = Log(a) - Log(b)];

Indications pour Résoudre les Questions

Pour la question 1, utilisez la règle 1.
Pour la question 2, appliquez la règle 1.
Pour la question 3, choisissez des valeurs pour \( a \) et \( b \).
Pour la question 4, rappelez-vous que \( 1000 = 10^3 \).
Pour la question 5, écrivez l'équation avec une seule logarithme.
Pour la question 6, développez \( \log(5^2) \) et comparez.

graph TD; A[Questions] --> B[Utiliser la règle 1]; B --> C[Calculez les valeurs]; C --> D[Ajustements nécessaires];

Solutions Détailées des Exercices

1. Pour calculer \( \log(12) \) :
\( 12 = 4 \times 3 \) donc \( \log(12) = \log(4) + \log(3) = 2 + 1.0986 = 3.0986 \).

2. En utilisant \( x = 2 \) et \( y = 5 \) :
\( \log(2 \times 5) = \log(10) = 1 \).

3. Prenons \( a = 2 \) et \( b = 3 \) :
\( \log(2 \times 3) = \log(6) \) et par la règle, \( \log(2) + \log(3) = 0.301 + 0.477 = 0.778 \).

4. On sait que \( 1000 = 10^3 \), donc :
\( \log(1000) = 3 \cdot \log(10) = 3 \).

5. L'équation devient \( \log(x) + \log(10) = 2 \), simplifiez :
\( \log(10x) = 2 \) donc \( 10x = 100 \Rightarrow x = 10 \).

6. Pour vérifier :
\( \log(25) = \log(5^2) = 2 \cdot \log(5) = 2 \cdot 0.699 = 1.398 \), cela confirme la règle.

Points Clés à Retenir

Le logarithme d'un produit se décompose en somme.
Le logarithme d'une puissance multiplie l'exposant.
Les logarithmes facilitent les calculs multiplicatifs.
Souvenez-vous des valeurs courantes : \( \log(10) = 1 \), \( \log(2) \approx 0.301 \).
Utilisez des tables ou calculatrices pour les valeurs précises.
La base du logarithme influe sur le résultat.
Utilisation fréquente en sciences et ingénierie.
Modifications des bases logarithmiques peuvent être nécessaires.
Les graphiques des logarithmes sont très révélateurs.
Pensez à bien maitriser les propriétés fondamentales.

Définitions des Termes Utilisés

Logarithme : Opération inverse de l'exponentiation.
Produit : Résultat de la multiplication de deux nombres.
Base d'un logarithme : Nombre à la puissance duquel on élève pour obtenir un autre nombre.
Exponentiation : Opération consistant à élever un nombre à une puissance donnée.
Identité logarithmique : Équations qui montrent des relations entre logarithmes.

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