Exercices simples sur le logarithme d'un quotient corrigés
Préparez-vous avec des exercices simples de logarithme d'un quotient, accompagnés de corrections détaillées. Parfait pour les révisions au collège et au lycée !
Exercices simples sur le logarithme d'un quotient
Dans cet exercice, nous allons explorer les logarithmes d'un quotient à travers plusieurs questions. Voici les questions que nous allons aborder:- Calculez \( \log_{10}\left(\frac{100}{10}\right) \)
- Évaluez \( \log_{2}\left(\frac{16}{4}\right) \)
- Si \( a = 8 \) et \( b = 2 \), quel est \( \log_{3}\left(\frac{a}{b}\right) \) ?
- Si \( x = 64 \) et \( y = 16 \), trouvez \( \log_{4}\left(\frac{x}{y}\right) \)
- Exprimez \( \log_{5}(25) - \log_{5}(5) \) en utilisant la propriété des logarithmes.
- Calculer \( \log_{3}\left(\frac{27}{9}\right) \) et expliquer les étapes.
- Que vaut \( \log_{10}(1) \) et pourquoi ?
Règles sur les logarithmes
- Pour tout \( a > 0 \) et \( b > 0 \), on a \( \log_{b}\left(\frac{a}{c}\right) = \log_{b}(a) - \log_{b}(c) \).
- Le logarithme d'un nombre égal à 1 est toujours 0, soit \( \log_{b}(1) = 0 \).
- Si \( a = b^{c} \), alors \( \log_{b}(a) = c \).
- Les logarithmes peuvent être utilisés pour simplifier la division en transformant celle-ci en soustraction.
graph TD; A[Logarithme] -->|Quotient| B[Log(a/c)] A -->|Règle| C[Log(a) - Log(c)] B --> D[Log(a)] B --> E[Log(c)]
Indications et astuces
- Utilisez la règle des logarithmes pour décomposer les expressions complexes.
- Directement remplacer les valeurs pour simplifier avant d'appliquer le logarithme.
- Rappelez-vous que \( \log_{b}(a) = c \) signifie que \( b^{c} = a \).
graph TD; A[Décomposer l'expression] B[Remplacer les valeurs] C[Avoir un résultat final] A --> B B --> C
Solutions détaillées
- Pour \( \log_{10}\left(\frac{100}{10}\right) \):
Nous utilisons la propriété des logarithmes : \( \log_{10}(100) - \log_{10}(10) \)
Calculons : \( 2 - 1 = 1 \)
Réponse : \( \log_{10}\left(\frac{100}{10}\right) = 1 \)
- Pour \( \log_{2}\left(\frac{16}{4}\right) \):
Utilisons à nouveau la propriété : \( \log_{2}(16) - \log_{2}(4) \)
On sait que \( 16 = 2^4 \) et \( 4 = 2^2 \), donc: \( 4 - 2 = 2 \)
Réponse : \( \log_{2}\left(\frac{16}{4}\right) = 2 \)
- Pour \( \log_{3}\left(\frac{8}{2}\right) \):
Avec \( a = 8 \) et \( b = 2 \), nous avons : \( \log_{3}(8) - \log_{3}(2) \)
Nous savons que \( 8 = 3^{c} \approx 1.893 \) et \( 2 \approx 0.6309 \), donc la valeur est \( 1.893 - 0.6309 = 1.2621 \)
Réponse : \( \log_{3}\left(\frac{8}{2}\right) \approx 1.2621 \)
- Pour \( \log_{4}\left(\frac{64}{16}\right) \):
Ça donne \( \log_{4}(64) - \log_{4}(16) \)
Pour \( 64 = 4^{3} \) et \( 16 = 4^{2} \), nous obtenons : \( 3 - 2 = 1 \)
Réponse : \( \log_{4}\left(\frac{64}{16}\right) = 1 \)
- Pour \( \log_{5}(25) - \log_{5}(5) \):
Cela devient \( 2 - 1 = 1 \) car \( 25 = 5^{2} \) et \( 5 = 5^{1} \)
Réponse : \( \log_{5}(25) - \log_{5}(5) = 1 \)
- Pour \( \log_{3}\left(\frac{27}{9}\right) \):
Utilisons la propriété encore une fois : \( \log_{3}(27) - \log_{3}(9) \)
Nous savons que \( 27 = 3^{3} \) et \( 9 = 3^{2} \), d'où : \( 3 - 2 = 1 \)
Réponse : \( \log_{3}\left(\frac{27}{9}\right) = 1 \)
- Pour \( \log_{10}(1) \):
Nous avons que \( \log_{b}(1) = 0 \) car \( b^0 = 1 \) pour tout \( b > 0 \).
Réponse : \( \log_{10}(1) = 0 \)
Points clés à retenir
- Les logarithmes transforment la division en soustraction.
- Le logarithme d'un quotient suit la formule : \( \log_b(a/c) = \log_b(a) - \log_b(c) \).
- Le logarithme de 1 est toujours égal à 0.
- Comprendre les bases des logarithmes est essentiel.
- La pratique régulière aide à mieux comprendre les logarithmes.
- Évaluer la compréhension des logarithmes en expliquant les étapes est bénéfique.
- Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier des problèmes complexes.
- Les logarithmes peuvent être appliqués dans des contextes variés, y compris la science et l'ingénierie.
- Les logarithmes aident à résoudre des équations exponentielles.
- Apprendre par la pratique permet de maîtriser les concepts.
Définitions importantes
- Logarithme : Le logarithme d'un nombre est l'exposant auquel une base donnée doit être élevée pour produire ce nombre.
- Quotient : Une opération mathématique qui consiste à diviser un nombre par un autre.
- Propriété des logarithmes : Les règles et relations mathématiques qui régissent les logarithmes.