Trouver le logarithme d'un quotient Exercices de difficulté moyenne
Améliorez vos compétences en résolvant des exercices de difficulté moyenne sur le logarithme d'un quotient, avec des corrections explicatives pour chaque problème.
Trouver le logarithme d'un quotient
Voici un exercice qui vous aidera à appliquer les propriétés des logarithmes en résolvant le logarithme d'un quotient. Répondez aux questions suivantes :- Calculez \( \log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) \).
- Exprimez \( \log_{5} \left(\frac{125}{25}\right) \) en utilisant les propriétés des logarithmes.
- Montrez que \( \log_{2} \left(\frac{32}{8}\right) = 3 \) en détaillant chaque étape.
- Si \( x = \frac{81}{27} \), trouvez \( \log_{3}(x) \) et justifiez votre réponse.
Règles et propriétés des logarithmes
- La propriété du logarithme d'un quotient : \( \log_{b} \left(\frac{M}{N}\right) = \log_{b}(M) - \log_{b}(N) \).
- Pour \( a > 0 \) et \( b > 0 \), on a \( \log_{b}(a) + \log_{b}(c) = \log_{b}(a \cdot c) \).
- Il faut savoir que \( \log_{b}(b) = 1 \) et \( \log_{b}(1) = 0 \).
graph TD;
A[Propriété du logarithme d'un quotient] --> B(Quotient);
B --> C[log_b(M) - log_b(N)];
Indications pour la résolution
- Identifiez \( M \) et \( N \) dans le quotient donné.
- Utilisez la propriété \( \log_{b} \left(\frac{M}{N}\right) = \log_{b}(M) - \log_{b}(N) \) pour simplifier.
- Assurez-vous de bien connaître les valeurs de \( \log_{b}(M) \) et \( \log_{b}(N) \) avant de résoudre.
graph TD;
A[Étapes à suivre] --> B[Identifier M et N];
B --> C[Appliquer la propriété];
C --> D[Calculer les logarithmes];
Solutions détaillées
-
Pour \( \log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) \) :
Nous appliquons la propriété :
\[\log_{10}\left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10}(1000) - \log_{10}(10)\]Nous savons que \( \log_{10}(1000) = 3 \) et \( \log_{10}(10) = 1 \), donc :
\[\log_{10}(1000) - \log_{10}(10) = 3 - 1 = 2\ -
Pour \( \log_{5} \left(\frac{125}{25}\right) \) :
Nous appliquons la même propriété :
\[\log_{5}\left(\frac{125}{25}\right) = \log_{5}(125) - \log_{5}(25)\]Sachant que \( 125 = 5^3 \) et \( 25 = 5^2 \), nous avons :
\[\log_{5}(125) = 3 \quad \text{et} \quad \log_{5}(25) = 2\]Donc :
\[\log_{5}\left(\frac{125}{25}\right) = 3 - 2 = 1\] -
Pour \( \log_{2} \left(\frac{32}{8}\right) \) :
Appliquons la propriété logarithmique :
\[\log_{2}\left(\frac{32}{8}\right) = \log_{2}(32) - \log_{2}(8)\]Nous connaissons \(\log_{2}(32) = 5\) et \(\log_{2}(8) = 3\), donc :
\[\log_{2}\left(\frac{32}{8}\right) = 5 - 3 = 2\] -
Pour \( x = \frac{81}{27} \), trouvons \( \log_{3}(x) \) :
Premièrement, calculons \( x \) :
\[x = \frac{81}{27} = 3\]Ensuite, utilisons la définition :
\[\log_{3}(x) = \log_{3}(3) = 1\]
Points clés à retenir
- Le logarithme d'un quotient peut être exprimé comme la différence des logarithmes.
- Comprendre la valeur des logarithmes de bases courantes est essentiel.
- Savoir convertir les nombres en formes exponentielles aide à la simplification.
- Pratiquer des exemples variés renforce la compréhension.
- Gardez toujours à l'esprit les propriétés des logarithmes.
- Utilisez des calculatrices pour vérifier vos résultats si nécessaire.
- Résolvez étape par étape pour éviter les erreurs.
- Les logarithmes sont utilisés dans divers domaines, y compris la science et l'économie.
- Soyez attentif aux bases lorsque vous travaillez avec des logarithmes.
- Revoir les règles et les propriétés contribue à mieux se souvenir.
Définitions importantes
- Logarithme : L'inverse de l'exponentiation, qui répond à la question : quelle puissance doit-on appliquer à la base pour obtenir un nombre donné.
- Quotient : Le résultat de la division de deux nombres.
- Base logarithmique : Un nombre constant dans un logarithme qui indique la puissance à laquelle on élève la base pour obtenir le nombre en question.
- Propriété des logarithmes : Les règles qui régissent les opérations sur les logarithmes, facilitant leur manipulation.