Logarithme d'un quotient Exercices pratiques et solutions
Plongez dans la pratique avec ces exercices sur le logarithme d'un quotient, et retrouvez les solutions corrigées pour chaque question afin d'apprendre efficacement.
Exercice Pratique : Logarithme d'un Quotient
- Calculer $\log_a\left(\frac{b}{c}\right)$ en fonction de $\log_a(b)$ et $\log_a(c)$.
- Si $\log_2(8) = 3$, déterminer $\log_2(4)$.
- Calculer $\log_5(25) - \log_5(5)$.
- Si $\log_7(x) = 2$ et $x = 49$, vérifiez si cette égalité est correcte.
- Résoudre l'équation $\log_{10}(x) - \log_{10}(2) = 1$.
- Calculer la valeur de $x$ si $\log_x(81) = 4$.
- Expliquer la relation entre $\log_a(b)$ et $\log_b(a)$.
Règles des Logarithmes
- Pour tout $a > 0$, $b > 0$, et $c > 0$, $\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c)$.
- Si $x = a^y$, alors $\log_a(x) = y$.
- La fonction logarithme est croissante pour $a > 1$ et décroissante pour $0 < a < 1$.
- Pour tout $a > 1$, $\log_a(a) = 1$.
- Propriété de changement de base : $\log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)}$ pour tout $k > 0$.
Indications pour les Résolutions
- Utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier les expressions.
- Vérifier si possible la valeur de $x$ dans l'équation souhaitée.
- Tracer des graphiques pour visualiser les fonctions logarithmiques si nécessaire.
- En cas de référence croisée, utiliser la propriété de changement de base.
Solutions Détaillées des Exercices
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Pour $\log_a\left(\frac{b}{c}\right)$ on utilise la propriété : $$\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c).$$
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On sait que $\log_2(8) = 3$, puis $8 = 2^3 \Rightarrow \log_2(4) = 2$ car $4 = 2^2$.
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On a $\log_5(25) = 2$ et $\log_5(5) = 1$ donc : $$\log_5(25) - \log_5(5) = 2 - 1 = 1.$$
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D'après la définition des logarithmes, si $\log_7(x) = 2$, alors $x = 7^2 = 49$. L'égalité est correcte.
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Pour résoudre $\log_{10}(x) - \log_{10}(2) = 1$, on peut écrire : $$\log_{10}\left(\frac{x}{2}\right) = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 10 \Rightarrow x = 20.$$
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Nous avons $\log_x(81) = 4 \Rightarrow 81 = x^4$. Puisque $81 = 3^4$, il s'ensuit que $x = 3$.
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Il est vrai que $\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}$, une relation fondamentale en logarithme.
Points Clés à Retenir
- Le logarithme d'un quotient s'exprime par la différence des logarithmes.
- Le logarithme de 1 en base $a$ est toujours 0.
- Les bases de logarithmes peuvent être changées sans affecter le résultat.
- Les logarithmes sont invisibles pour négatifs et zéro.
- Logarithmes numériques peuvent être calculés via la calculatrice.
- La croissance des logarithmes est lente par rapport aux fonctions exponentielles.
- La forme exponentielle peut souvent simplifier les résolutions d'équations.
- Varier les logarithmes en différentes bases est une pratique fréquente.
- Un logarithme $\log_a(a) = 1$ est toujours vrai.
- Les logarithmes permettent des conversions pratiques entre multiplications et additions.
Définitions Importantes
- Logarithme: L'inverse de l'exponentiation; détermine la puissance à laquelle une base doit être élevée pour obtenir un certain nombre.
- Base du logarithme: Le nombre constant utilisé dans une fonction logarithmique (e.g., 10 dans $\log_{10}$).
- Quotient: Le résultat de la division de deux nombres.
- Propriété du logarithme: Règle mathématique qui régit la manipulation des logarithmes.
- Identité logarithmique: Une égalité qui implique des logarithmes et constitue une propriété fondamentale.