Résolution d'équations log. simples Exercices gratuits - Niveau 2
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Résolution d'équations logarithmiques simples - Exercices gratuits - Niveau 2
Dans cet exercice, nous allons résoudre des équations logarithmiques simples. Voici les questions :- 1. Résoudre l'équation \( \log_2(x) = 3 \).
- 2. Résoudre l'équation \( \log(x-1) = 2 \).
- 3. Trouver \( x \) dans l'équation \( 2 + \log_5(x) = 4 \).
- 4. Quelle est la valeur de \( x \) telle que \( \log_3(2x) = 1 \) ?
- 5. Résoudre l'équation \( \log_{10}(x + 5) = 1 \).
- 6. Trouver \( x \) dans l'équation \( \log(x^2) = 6 \).
- 7. Si \( \log_4(x) + \log_4(x - 2) = 1 \), quelle est la valeur de \( x \) ?
Règles fondamentales des logarithmes
- Règle 1 : \( \log_b(mn) = \log_b(m) + \log_b(n) \)
- Règle 2 : \( \log_b\left(\frac{m}{n}\right) = \log_b(m) - \log_b(n) \)
- Règle 3 : \( \log_b(m^n) = n \cdot \log_b(m) \)
- Règle 4 : \( \log_b(b) = 1 \)
- Règle 5 : \( \log_b(1) = 0 \)
Indications pour résoudre les équations logarithmiques
- Identifier la base et l'argument du logarithme.
- Utiliser la propriété \( b^y = x \) pour transformer l'équation logarithmique en équation exponentielle.
- Isoler \( x \) dans l'équation obtenue.
- Vérifier que le résultat trouvé est dans le domaine du logarithme (argument positif).
Solutions détaillées des exercices
1. Résoudre l'équation \( \log_2(x) = 3 \).
Transformons cette équation en utilisant la définition du logarithme : \[x = 2^3 = 8.\]
2. Résoudre l'équation \( \log(x-1) = 2 \).
En utilisant la définition du logarithme :\[x - 1 = 10^2 \Rightarrow x - 1 = 100 \Rightarrow x = 101.\]
3. Trouver \( x \) dans l'équation \( 2 + \log_5(x) = 4 \).
Isolons \( \log_5(x) \) :\[\log_5(x) = 4 - 2 = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25.\]
4. Quelle est la valeur de \( x \) telle que \( \log_3(2x) = 1 \) ?
Utilisons la définition du logarithme : \[2x = 3^1 = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5.\]
5. Résoudre l'équation \( \log_{10}(x + 5) = 1 \).
En utilisant la définition du logarithme : \[x + 5 = 10^1 = 10 \Rightarrow x = 10 - 5 = 5.\]
6. Trouver \( x \) dans l'équation \( \log(x^2) = 6 \).
Transformons cette équation :\[x^2 = 10^6 \Rightarrow x = \sqrt{10^6} = 10^3 = 1000.\]
7. Si \( \log_4(x) + \log_4(x - 2) = 1 \), quelle est la valeur de \( x \) ?
Utilisons la règle des logarithmes :\[\log_4(x(x - 2)) = 1 \Rightarrow x(x - 2) = 4^1 = 4.\]Cela se simplifie à \( x^2 - 2x - 4 = 0 \). En utilisant la formule quadratique :\[x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}.\]Seule la solution \( 1 + \sqrt{5} \) est acceptable, car elle doit être positive.
Points clés à retenir
- Les logarithmes sont l'inverse des exponentiations.
- La base d'un logarithme doit toujours être positive.
- Les arguments des logarithmes doivent être positifs.
- Transformer une équation logarithmique en équation exponentielle aide à trouver des solutions.
- Utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier les calculs.
- Les solutions doivent être vérifiées dans le contexte des logarithmes.
- Apprendre les identités logarithmiques facilite la résolution.
- Les problèmes réels peuvent également impliquer des logarithmes.
- Comprendre la relation entre logarithmes et exponentielles est cruciale.
- Pratiquer régulièrement améliore la maîtrise des logarithmes.
Définitions et termes importants
- Logarithme : L'inverse de la puissance, défini comme la solution à l'équation \( b^y = x \).
- Base : Le nombre qui est élevé à une puissance dans une fonction exponentielle.
- Argument : La valeur sur laquelle le logarithme est appliqué, doit être positif.
- Propriété du logarithme : Les règles mathématiques qui régissent le comportement des logarithmes.
- Équation logarithmique : Une équation où la variable est à l'intérieur d'un logarithme.