Exercices pratiques sur les équations log. simples - Niveau 3
Pratiquez avec des exercices sur les équations logarithmiques simples. Chaque exercice est corrigé pour vous aider à mieux comprendre les concepts.
Exercices pratiques sur les équations logarithmiques simples - Niveau 3
Les équations logarithmiques sont courantes en mathématiques et nécessitent une compréhension approfondie des propriétés des logarithmes pour être résolues efficacement. Voici un ensemble d'exercices conçus pour tester et renforcer vos compétences.- Résoudre les équations suivantes :
- 1. \( \log_2(x) + \log_2(x-3) = 3 \)
- 2. \( \log(x) - \log(x-1) = 0 \)
- 3. \( \log_3(2x + 1) = 2 \)
- 4. \( \log_5(x + 4) + \log_5(x - 1) = 2 \)
Règles fondamentales des logarithmes
- Règle du produit : \( \log_b(m \cdot n) = \log_b(m) + \log_b(n) \)
- Règle du quotient : \( \log_b\left(\frac{m}{n}\right) = \log_b(m) - \log_b(n) \)
- Règle de la puissance : \( \log_b(m^p) = p \cdot \log_b(m) \)
- Propriété des logarithmes nuls : \( \log_b(1) = 0 \)
- Définition : \( \log_b(a) = c \iff b^c = a \)
Indications pour résoudre les équations logarithmiques
- Identifiez les propriétés des logarithmes applicables.
- Assurez-vous que l'argument du logarithme est positif.
- Transformez les équations en exponentielles lorsque cela est possible.
- Vérifiez toujours vos solutions dans l'équation originale.
graph TD; A[Début] --> B{Identifiez l'équation}; B --> C{Propriétés des logs}; C --> D[Transformez en exponentielle]; D --> E{Verifiez argument positif}; E --> F[Résolvez et trouvez x]; F --> G[Validation de la solution]; G --> H[Fini];
Corrigés détaillés des exercices
Question 1
Pour résoudre \( \log_2(x) + \log_2(x-3) = 3 \), nous appliquons la règle du produit :
Nous avons : \( \log_2(x(x-3)) = 3 \).
En exponentiant, cela donne : \( x(x-3) = 2^3 = 8 \).
Ce qui se simplifie en : \( x^2 - 3x - 8 = 0 \).
En utilisant la formule quadratique : \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) où \( a=1, b=-3, c=-8 \), nous trouvons :
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41\]\[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}\]
environ \( x_1 \approx 6.7 \) et \( x_2 \approx -1.7 \). Seule \( x_1 \) est valable.
Question 2
L'équation \( \log(x) - \log(x-1) = 0 \) se simplifie en \( \log\left(\frac{x}{x-1}\right) = 0 \).
Ainsi, \( \frac{x}{x-1} = 1 \) donc \( x = x - 1 \Rightarrow x - x = - 1 \), donc \( x = \infty\), qui n'est pas une solution valable.
Question 3
Pour \( \log_3(2x + 1) = 2 \), exponentiez pour obtenir \( 2x + 1 = 3^2 = 9 \).
En simplifiant, \( 2x = 8 \rightarrow x = 4 \).
Vérifiez : \( \log_3(2 \cdot 4 + 1) = \log_3(9) = 2\), ce qui est correct.
Question 4
Pour \( \log_5(x + 4) + \log_5(x - 1) = 2 \), appliquons la règle du produit :
Nous obtenons \( \log_5((x + 4)(x - 1)) = 2 \).
En exponentiant, \( (x + 4)(x - 1) = 5^2 = 25 \) donnant :
\( x^2 + 3x - 29 = 0 \).
Nous utilisons la formule quadratique, avec \( a=1, b=3, c=-29 \).
\[\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 9 + 116 = 125\]\[x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{125}}{2}\]
Environ \( x_1 \approx 4.6 \) (valide) et \( x_2 \approx -6.6 \) (non valide).
Points clés à retenir sur les équations logarithmiques
- Les arguments des logarithmes doivent toujours être positifs.
- Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier les équations.
- Transformez les équations logarithmiques en équations exponentielles pour une résolution plus facile.
- Chaque solution doit être vérifiée dans l'équation originale.
- Les équations quadratiques peuvent souvent résulter des logarithmes.
- Attention aux solutions extrêmes qui n'ont pas de sens dans le contexte.
- Chaque base logarithmique nécessite une attention particulière à ses propriétés.
- Comprendre la forme exponentielle est crucial pour le travail avec des logarithmes.
- Les logarithmes de 1 sont toujours 0, ce qui est un point clé pour résoudre certaines équations.
- Utilisez des graphiques pour visualiser l'intersection des fonctions dans des équations complexes.
Définitions et descriptions des termes utilisés
- Logarithme : La fonction qui résout pour l'exposant dans une équation exponentielle.
- Base logarithmique : Le nombre qui est élevé à une certaine puissance pour obtenir un autre nombre.
- Argument du logarithme : La valeur dont on prend le logarithme.
- Équation logarithmique : Une équation qui contient un logarithme.
- Fonction exponentielle : L'inverse d'une fonction logarithmique.
- Formule quadratique : \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) pour résoudre les équations quadratiques.
- Valeur de \(\Delta\): Le discriminant d'une équation quadratique qui détermine le nombre de solutions réelles.
- Validation : Processus de vérification d'une solution dans l'équation originale.
- Produit des logarithmes : Propriété qui relie les logarithmes d'un produit à la somme de leurs logarithmes.
- Quotient de logarithmes : Propriété qui relie la différence des logarithmes à la division de leurs arguments.