Comprendre les équations log. simples - Exercices et corrections - Niveau 4
Améliorez votre compréhension des équations logarithmiques avec des exercices corrigés. Idéal pour les étudiants en lycée et collège désirant revoir le cours.
Comprendre les équations logarithmiques simples - Exercices et corrections
Voici un ensemble d'exercices sur les équations logarithmiques simples. Chaque question est conçue pour renforcer votre compréhension des propriétés des logarithmes et leur résolution.- Q1 : Résoudre l'équation \( \log_2(x) = 3 \).
- Q2 : Résoudre l'équation \( \log(x + 2) = 1 \).
- Q3 : Trouver \( x \) tel que \( \log_3(2x) = 2 \).
- Q4 : Résoudre \( \log(5) + \log(x) = 2 \).
- Q5 : Déterminer \( x \) dans \( 2\log(x) = \log(16) \).
- Q6 : Trouver \( x \) si \( \log_4(2x + 4) = 3 \).
Règles et propriétés des logarithmes
- R1 : \( \log_a(b) = c \) signifie que \( a^c = b \).
- R2 : \( \log_a(m \cdot n) = \log_a(m) + \log_a(n) \).
- R3 : \( \log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a(m) - \log_a(n) \).
- R4 : \( \log_a(m^k) = k \cdot \log_a(m) \).
- R5 : Si \( \log_a(b) = c \), alors \( b = a^c \).
graph TD
A[Logarithme] --> B[Logarithme d'un produit]
A --> C[Logarithme d'un quotient]
A --> D[Logarithme d'une puissance]
Indications pour résoudre les équations
- I1 : Identifiez le type d'équation logarithmique.
- I2 : Exprimez l'équation en forme exponentielle.
- I3 : Résolvez pour \( x \) en isolant le logarithme.
- I4 : Vérifiez les solutions dans l'équation initiale.
- I5 : Soyez attentif aux solutions extrêmes (ex. \( x > 0 \) pour les logs réels).
graph TD
A[Résoudre une équation log] --> B[Identifier]
A --> C[Exprimée]
A --> D[Isoler]
A --> E[Vérification]
Solutions détaillées
Q1 : Résoudre \( \log_2(x) = 3 \)
En utilisant la définition d'un logarithme:
On a \( 2^3 = x \) donc \( x = 8 \).
Q2 : Résoudre \( \log(x + 2) = 1 \)
Exprimons cela en exponentielle:
On a \( x + 2 = 10^1 = 10 \)
Donc, \( x = 10 - 2 = 8 \).
Q3 : Trouver \( x \) tel que \( \log_3(2x) = 2 \)
Nous réécrivons l'équation:
Donc, \( 2x = 3^2 = 9 \)
Ainsi, \( x = \frac{9}{2} = 4.5 \).
Q4 : Résoudre \( \log(5) + \log(x) = 2 \)
Utilisons la propriété des produits:
On a \( \log(5x) = 2 \), d'où \( 5x = 10^2 = 100 \)
Donc, \( x = \frac{100}{5} = 20 \).
Q5 : Déterminer \( x \) dans \( 2\log(x) = \log(16) \)
On peut simplifier :
\( \log(x^2) = \log(16) \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \)
Mais \( x > 0 \) donc \( x = 4 \).
Q6 : Trouver \( x \) si \( \log_4(2x + 4) = 3 \)
En exprimant en exponentielle:
On a \( 2x + 4 = 4^3 = 64 \)
Alors, \( 2x = 64 - 4 = 60 \Rightarrow x = 30 \).
Points clés à retenir
- 1 : Les logarithmes sont l'inverse des puissances.
- 2 : La base d'un log doit toujours être positive et différente de 1.
- 3 : Les solutions doivent toujours être vérifiées.
- 4 : \( \log(a \cdot b) = \log a + \log b \).
- 5 : \( \log(a / b) = \log a - \log b \).
- 6 : \( \log(a^b) = b \cdot \log a \).
- 7 : Tous les logarithmes ont un domaine.\
- 8 : Une équation logarithmique peut avoir une solution ou aucune.
- 9 : Les équations doivent être simplifiées chaque fois que cela est possible.
- 10 : L'utilisation des propriétés aide à transformer les équations complexes en plus simples.
Définitions de termes liés
- 1 : Logarithme : Fonction inverse de l'exponentielle qui répond à \( \log_a(b) \) si \( a^x = b \).
- 2 : Base : Le nombre \( a \) dans \( \log_a \) indique la base du logarithme.
- 3 : Domaine : L'ensemble des valeurs que peut prendre la fonction logarithmique, généralement \( x > 0 \).
- 4 : Produit de logarithmes : Une propriété qui stipule que le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes.
- 5 : Quotient de logarithmes : Une propriété affirmant que le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes.
- 6 : Puissance de logarithmes : La relation entre les puissances et les logarithmes, où un exposant peut être ramené devant.
- 7 : Équation logarithmique : Une équation qui contient au moins un logarithme avec une variable.
- 8 : Solution : Une valeur pour la variable qui rend l'équation vraie.
- 9 : Vérification : Le processus de s'assurer qu'une solution répond à l'équation d'origine.
- 10 : Inverse : Ce qui annule une autre opération, par exemple, le logarithme annule l'exponentielle.