Exercices avancés sur les log. Résolution d'équations - Niveau 5
Testez vos compétences avec des exercices avancés sur les équations logarithmiques. Corrigés disponibles pour tous les niveaux au lycée et collège.
Exercices avancés sur les log et Résolution d'équations
Résoudre les équations logarithmiques suivantes. Utilisez les propriétés des logarithmes et justifiez vos réponses.- Question 1: Résoudre l'équation \( \log_2(x) + \log_2(x - 3) = 3 \)
- Question 2: Résoudre \( \log(x+1) - \log(x-1) = 1 \)
- Question 3: Résoudre \( 2\log_5(x) = \log_5(25) \)
- Question 4: Résoudre \( \log(x^2 - 1) = 0 \)
- Question 5: Résoudre \( \log_3(x + 2) + \log_3(x - 1) = 2 \)
- Question 6: Résoudre \( \log_4(x) - \log_4(16) = -1 \)
- Question 7: Résoudre \( \log_2(2x + 4) = 3 \)
Règles et propriétés des logarithmes
- Propriété 1: \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \times c) \)
- Propriété 2: \( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) \)
- Propriété 3: \( n \log_a(b) = \log_a(b^n) \)
- Propriété 4: \( \log_a(a) = 1 \) et \( \log_a(1) = 0 \)
Indications pour la résolution
- Identifier l'équation logarithmique et appliquer les propriétés adéquates.
- Isoler le terme logarithmique si nécessaire.
- Convertir l'équation logarithmique en équation exponentielle.
- Vérifier les solutions dans le domaine des logarithmes.
Solutions détaillées des questions
Question 1: \( \log_2(x) + \log_2(x - 3) = 3 \) en utilisant la règle 1:\[\log_2(x(x-3)) = 3\]D'où, exponentiation:\[x(x - 3) = 2^3\]\[x^2 - 3x - 8 = 0\]Utiliser la formule quadratique:\[x = \frac{3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2}\]Les solutions sont \( x = 5 \) ou \( x = -2 \). Vérification: seule \( x = 5 \) est valide.
Question 2:\( \log(x+1) - \log(x-1) = 1 \) Utiliser la règle 2:\[\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 1\]Alors\[\frac{x+1}{x-1} = 10\]Résoudre:\[x + 1 = 10(x - 1) \implies x + 1 = 10x - 10 \implies 9x = 11 \implies x = \frac{11}{9}\]
Question 3:\( 2\log_5(x) = \log_5(25) \) D'où:\[\log_5(x^2) = \log_5(25)\]Ce qui donne:\[x^2 = 25 \implies x = 5 \text{ ou } x = -5 \quad (\text{validation: seulement } x = 5)\]
Question 4:\( \log(x^2 - 1) = 0 \) Alors:\[x^2 - 1 = 1 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \text{ ou } x = -\sqrt{2} \quad (\text{validation: seulement } x = \sqrt{2})\]
Question 5:\( \log_3(x + 2) + \log_3(x - 1) = 2 \) D'où:\[\log_3((x + 2)(x - 1)) = 2 \implies (x + 2)(x - 1) = 9\]Développer:\[x^2 + x - 11 = 0 \implies \text{solution avec la formule quadratique} \quad \text{ou calcul numérique.}\]
Question 6:\( \log_4(x) - \log_4(16) = -1 \)D'où:\[\log_4\left(\frac{x}{16}\right) = -1 \implies \frac{x}{16} = \frac{1}{4} \implies x = 4\]
Question 7:\( \log_2(2x + 4) = 3 \) Donc:\[2x + 4 = 8 \implies 2x = 4 \implies x = 2\]
Points clés à retenir
- Les logarithmes sont utilisés pour résoudre des équations exponentielles.
- Les propriétés des logarithmes simplifient la résolution.
- Vérifiez toujours les solutions.
- La base du logarithme est essentielle pour les propriétés.
- Les logarithmes ne sont définis que pour des arguments positifs.
- Connaître les conversions logarithmiques est crucial.
- Utilisez des graphiques pour visualiser l'effet des logarithmes.
- Les équations logarithmiques peuvent avoir des solutions multiples.
- Les solutions doivent toujours être vérifiées dans le contexte de l'exercice.
- La formule quadratique est souvent utilisée pour résoudre des équations.
Définitions des termes utilisés
- Logarithme: L'inverse de l'exponentiation, représentant l'exposant auquel une base donnée doit être élevée pour obtenir un certain nombre.
- Propriétés des logarithmes: Règles fondamentales qui régissent le comportement des logarithmes lors de l'addition, de la soustraction ou de la multiplication dans une équation.
- Équation exponentielle: Une équation qui implique une variable dans l'exposant.
- Formule quadratique: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) pour résoudre les équations du second degré.