Exercices intermédiaires calculs de volumes de sphères
Améliorez votre maîtrise des volumes sphériques grâce à des exercices de niveau intermédiaire, accompagnés de solutions claires et détaillées.
Calculs de volumes de sphères : Exercices intermédiaires
Un exercice pour maîtriser le calcul du volume des sphères. Considérez une sphère de rayon \( r \). Le volume \( V \) d'une sphère est donné par la formule : \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Répondez aux questions suivantes :- Calculez le volume d'une sphère de rayon 5 cm.
- Si le rayon d'une sphère est doublé, quel est l'impact sur son volume ?
- Calculez le rayon d'une sphère ayant un volume de 1000 cm³.
- Comparez les volumes de deux sphères, l'une de rayon 7 cm et l'autre de 14 cm.
- Si une sphère a un volume de 268,08 cm³, quel est son rayon ?
Formules et Règles Importantes
- Volume d'une sphère : \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
- Conversion entre le volume et le rayon : inverse de la formule du volume.
- Doublage du rayon multiplie le volume par \( 2^3 = 8 \).
- Les unités doivent être cohérentes (cm, m, etc.).
- \( \pi \approx 3.14 \) pour des calculs approximatifs.
Conseils pour Résoudre les Exercices
- Identifiez le rayon donné dans chaque question.
- Appliquez la formule du volume avec soin.
- Pensez à vérifier les unités de mesure.
- Utilisez une calculatrice pour les calculs précis.
- Comparez les résultats pour différents rayons afin de mieux comprendre les relations.
Solutions Détailleés des Questions
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Pour une sphère de rayon \( 5 \) cm :
\[ V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) \approx 523.6 \, \text{cm}^3 \] -
Doublage du rayon \( r \) :
<[ V_{new} = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 8V \]Cela signifie que le volume est multiplié par 8.
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Pour trouver le rayon à partir d'un volume de \( 1000 \, \text{cm}^3 : \)
\[ 1000 = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r^3 = \frac{1000 \times 3}{4 \pi} \approx 238.73 \implies r \approx 6.2 \, \text{cm} \] -
Volumes pour comparer :
- Sphère de \( 7 \) cm : \[ V = \frac{4}{3} \pi (7)^3 \approx 1436.76 \, \text{cm}^3 \]
- Sphère de \( 14 \) cm : \[ V = \frac{4}{3} \pi (14)^3 \approx 5487.16 \, \text{cm}^3 \]
La sphère de \( 14 \) cm a un volume \( 4 \) fois plus grand que celui de \( 7 \) cm.
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Pour une sphère de \( 268.08 \, \text{cm}^3 : \)
\[ r^3 = \frac{268.08 \times 3}{4 \pi} \approx 63.84 \implies r \approx 4 \, \text{cm} \]
Points Clés à Retenir
- La formule du volume d'une sphère est fondamentale.
- Doublage du rayon = multiplication du volume par 8.
- Utiliser \( \pi \) pour des calculs précis dans les applications pratiques.
- Vérifier les unités de mesure toujours.
- Les calculs de volume sont essentiels en géométrie spatiale.
Définitions Importantes
- Sphère : Un solide géométrique composé de tous les points à une distance donnée d'un centre.
- Rayon : La distance entre le centre de la sphère et sa surface.
- Volume : L'espace occupé par un objet, mesuré en unités cubiques.
- Pi (\( \pi \)) : Constante approximativement égale à \( 3.14 \), utilisée dans les calculs de cercles et sphères.
- Doublage : Processus d'augmenter une dimension par un facteur de deux.
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