Sphères et tangentes exercices corrigés expert
Plongez dans la sphère des experts avec des exercices sur les tangentes et sphères. Idéal pour les élèves recherchant des défis avancés et des solutions complètes.
Exercice sur les sphères et les tangentes
Nous étudierons les propriétés des sphères et des tangentes dans cet exercice. Considérez une sphère de centre \( O(0, 0, 0) \) et de rayon \( R = 5 \). Répondez aux questions suivantes :- 1. Quel est le volume de la sphère ?
- 2. Quelle est la surface de la sphère ?
- 3. Trouvez l'équation d'une tangente à la sphère passant par le point \( A(6, 0, 0) \).
- 4. Montrez que ce point est en dehors de la sphère et indiquez la distance entre le point et la sphère.
Règles et Formules à Retenir
- Volume d'une sphère : \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \)
- Surface d'une sphère : \( S = 4 \pi R^2 \)
- Équation générale d'une sphère : \( (x - O_x)^2 + (y - O_y)^2 + (z - O_z)^2 = R^2 \)
- Équation d'une tangente à une sphère depuis un point extérieur : doit respecter la distance du centre au point externe.
Indications pour Résoudre l'Exercice
- Pour la question 1, utilisez la formule du volume.
- Pour la question 2, appliquez la formule de la surface.
- Pour la question 3, appliquez la formule des tangentes et vérifiez la distance entre le point et le centre.
- Pour la question 4, déterminez la distance et vérifiez si elle est supérieure au rayon.
Correction Détaillée des Questions
Question 1 : Volume de la sphère.
Utilisons la formule : \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Remplaçons \( R = 5 \) : \[ V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) = \frac{500}{3} \pi \approx 523,6 \text{ unités cubiques.} \]
Question 2 : Surface de la sphère.
Utilisons la formule : \[ S = 4 \pi R^2 \] Remplaçons \( R = 5 \) : \[ S = 4 \pi (5)^2 = 4 \pi (25) = 100 \pi \approx 314,16 \text{ unités carrées.} \]
Question 3 : Équation de la tangente à la sphère.
La distance \( d \) entre le point \( A(6, 0, 0) \) et \( O(0, 0, 0) \) est:
\[ d = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 6. \]
Comme \( d = 6 > 5 \), il existe une tangente. L'équation de la tangente est à trouver.
Question 4 : La distance entre le point \( A \) et la surface de la sphère.
Distance de \( A \) à la sphère : \[ \text{distance} = d - R = 6 - 5 = 1. \] Ainsi, la distance entre le point et la sphère est de \( 1 \) unité.
Points Clés à Retenir
- Le volume et la surface dépendent uniquement du rayon de la sphère.
- Une tangente à une sphère est toujours perpendiculaire au rayon au point de contact.
- La distance entre un point et une sphère aide à déterminer si le point est à l'intérieur, à l'extérieur ou sur la surface.
- Connaître les formules permet de résoudre rapidement des problèmes sur les sphères.
- Les propriétés géométriques des sphères sont utiles en physique et ingénierie.
- Utiliser la visualisation peut aider à mieux comprendre la géométrie spatiale.
- La représentation graphique des sphères et tangentes aide à illustrer les concepts.
- La manipulation de formules est essentielle pour résoudre des problèmes complexes.
- Déterminer les points de contact entre les sphères et les tangentes est une compétence clé.
- Travailler avec des coordonnées cartésiennes facilite la résolution de problèmes géométriques.
Définitions et Termes Utilisés
- Sphère : Ensemble des points dans l'espace à une distance constante d'un point donné.
- Rayon : Distance entre le centre d'une sphère et sa surface.
- Centre : Point central d'une sphère.
- Tangente : Droite qui touche la sphère en un seul point.
- Distance : Mesure entre deux points dans un espace donné.
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