Défis géométriques problèmes complexes sur les sphères

Relevez des défis géométriques complexes sur les sphères avec nos exercices corrigés. Parfait pour ceux qui cherchent à pousser leurs limites en géométrie spatiale.

Téléchrger le PDF Document

Défis géométriques : Problèmes complexes sur les sphères

Dans cet exercice, nous allons explorer des défis géométriques liés aux sphères. Répondez aux questions suivantes en utilisant vos connaissances en géométrie sphérique.

Question 1 : Quel est le volume d'une sphère de rayon 5 cm ?
Question 2 : Quelle est la surface d'une sphère de diamètre 10 cm ?
Question 3 : Un espaceur sphérique a un volume de 1000 cm³. Quel est son rayon ?
Question 4 : Deux sphères de rayons 3 cm et 4 cm se touchent. Quelle est la distance entre leurs centres ?
Question 5 : Si une sphère est inscrite dans un cube de 10 cm de côté, quel est son volume ?
Question 6 : Un trou de 2 cm de diamètre est percé au centre d'une sphère de 10 cm de diamètre. Quel est le volume restant de la sphère ?

Règles et formules essentielles pour travailler avec les sphères

Volume d'une sphère : \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
Surface d'une sphère : \( S = 4 \pi r^2 \)
Distance entre les centres de deux sphères qui se touchent : \( d = r_1 + r_2 \)
Rayon d'une sphère à partir de son volume : \( r = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \)
Volume d'une sphère inscrite dans un cube : \( V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 \) où \( a \) est la longueur du côté du cube.
Volume restant après un retrait : \( V_{\text{restant}} = V_{\text{sphère}} - V_{\text{trou}} \)

Indications pour résoudre les problèmes de sphères

Rappelez-vous de convertir toutes les mesures nécessaires dans la même unité.
Utilisez des approximations pour \( \pi \) (comme 3.14 ou 22/7) lors des calculs.
Tracez un diagramme pour visualiser les relations entre les sphères et d'autres formes géométriques.

Corrections détaillées des questions posées

Question 1 :

Volume d'une sphère de rayon 5 cm :

\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi (125) \approx 523.6 \, \text{cm}^3 \)

Question 2 :

Surface d'une sphère de diamètre 10 cm :

Rayon \( r = \frac{d}{2} = 5 \, \text{cm} \)

\( S = 4 \pi r^2 = 4 \pi (5)^2 = 100 \pi \approx 314.16 \, \text{cm}^2 \)

Question 3 :

Pour un volume de 1000 cm³ :

\( r = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3 \times 1000}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 6.83 \, \text{cm} \)

Question 4 :

Distance entre les centres de deux sphères de rayons 3 et 4 cm :

\( d = r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7 \, \text{cm} \)

Question 5 :

Volume d'une sphère inscrite dans un cube de 10 cm :

Rayon \( r = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm} \)

\( V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5)^3 \approx 523.6 \, \text{cm}^3 \)

Question 6 :

Volume restant de la sphère :

Volume de la sphère \( V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3} \pi (5)^3 \approx 523.6 \, \text{cm}^3 \)

Volume du trou \( V_{\text{trou}} = \frac{4}{3} \pi (1)^3 \approx 4.19 \, \text{cm}^3 \)

Volume restant \( V_{\text{restant}} = V_{\text{sphère}} - V_{\text{trou}} \approx 519.41 \, \text{cm}^3 \)

Points clés à retenir sur les sphères

Le volume et la surface de la sphère dépendent uniquement de son rayon.
Les sphères ont des propriétés de symétrie très importantes.
Le diamètre d'une sphère est toujours le double de son rayon.
La sphère la plus grande qui peut être inscrite dans un cube touche toutes les faces du cube.
Distinguer entre le volume d'une sphère et le volume d'un cylindre avec la même base et hauteur.
Pour résoudre les problèmes de sphères, dessinez des diagrammes.
Connaître les relations entre les sphères aidera à résoudre les questions géométriques complexes.
Le retrait d'une partie du volume affectera considérablement le volume total.
Savoir utiliser l'approximation de \( \pi \) pour simplifier les calculs.
Le théorème de Pythagore est souvent utile dans les problèmes de sphères.

Définitions importantes concernant les sphères

Sphère : Une surface tridimensionnelle dans laquelle tous les points sont à une distance constante d'un point central.
Rayon : La distance du centre d'une sphère à n'importe quel point sur sa surface.
Diamètre : Le double du rayon, c'est la plus grande distance entre deux points sur la sphère.
Volume : L'espace occupé à l'intérieur d'une forme tridimensionnelle, mesuré en unités cubiques.
Surface : La mesure de l'extérieur d'un solide, mesurée en unités carrées.