Maîtriser les propriétés des cubes et pavés droits

Apprenez à maîtriser les propriétés des cubes et pavés droits grâce à cette série d'exercices corrigés destinés aux élèves du lycée et collège.

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Exercice : Maîtriser les propriétés des cubes et pavés droits

Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés des cubes et des pavés droits à travers plusieurs questions. Résoudre chaque question nécessite de comprendre les formules de volume et la définition de ces solides.

Quelle est la formule du volume d'un cube ?
Calculez le volume d'un cube dont l'arête mesure 5 cm.
Quelle est la formule du volume d'un pavé droit ?
Calculez le volume d'un pavé droit dont les dimensions sont 4 cm, 6 cm et 3 cm.
Si un cube a un volume de 27 cm³, quelle est la longueur de son arête ?
Comparez les volumes d'un cube de 4 cm d'arête et d'un pavé de 2 cm, 2 cm et 4 cm.

Règles et Formules

Volume d'un cube : \( V = a^3 \), où \( a \) est la longueur de l'arête.
Volume d'un pavé droit : \( V = L \times l \times h \), où \( L \), \( l \) et \( h \) sont les longueurs, largeurs et hauteurs respectivement.

Indications pour les étudiants

Pensez toujours à bien identifier les dimensions des solides.
Vérifiez que toutes les unités sont cohérentes avant de réaliser le calcul.
Utilisez les propriétés des exposants pour simplifier vos calculs.

Solutions détaillées aux questions

1. **Formule du volume d'un cube** : \( V = a^3 \)

2. **Volume d'un cube de 5 cm** : \( V = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3 \)

3. **Formule du volume d'un pavé droit** : \( V = L \times l \times h \)

4. **Volume d'un pavé droit de 4 cm, 6 cm, 3 cm** : \( V = 4 \times 6 \times 3 = 72 \, \text{cm}^3 \)

5. **Longueur de l'arête d'un cube de volume 27 cm³** : \( a = \sqrt[3]{27} = 3 \, \text{cm} \)

6. **Comparaison des volumes** : Le volume du cube est \( V = 4^3 = 64 \, \text{cm}^3 \) et le volume du pavé est \( V = 2 \times 2 \times 4 = 16 \, \text{cm}^3 \). Donc, le cube a un volume plus grand.

Points clés à retenir

Un cube est un cas particulier de pavé avec des arêtes égales.
Le volume peut être calculé en multipliant les dimensions.
Les unités de mesure doivent toujours être concordantes.
Un cube de côté \( a \) a une surface de \( 6a^2 \).
Les propriétés géométriques des cubes et pavés droits sont fondamentales en géométrie.
Les volumes peuvent être comparés pour évaluer des solides de différentes formes.
L'usage de formules pour résoudre les problèmes est essentiel.
Une bonne visualisation aide à comprendre les solides.
La pratique permet de maîtriser les calculs de volume.
Les exercices avec des applications pratiques aident la compréhension des concepts.

Définitions des termes utilisés

Cube : Solide géométrique à six faces carrées égales.
Pavé droit : Solide géométrique ayant six faces rectangulaires.
Volume : Quantité d'espace occupée par un solide, mesurée en unités cubiques.
Arête : Lien entre deux faces d'un solide, représentant la ligne de rencontre.