Exercices intermédiaires sur les volumes des cylindres

Développez vos compétences en calcul de volumes avec ces exercices intermédiaires sur les cylindres, accompagnés de solutions détaillées pour étudiants.

Exercice sur les volumes des cylindres

Cet exercice a pour but d'explorer les propriétés des cylindres et de calculer leurs volumes à travers différentes questions.

Question 1 : Calculez le volume d'un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm.
Question 2 : Si la hauteur d'un cylindre est doublée tout en gardant le même rayon, quel est l'impact sur le volume ?
Question 3 : Quel est le volume d'un cylindre dont le diamètre est de 8 cm et la hauteur de 15 cm ?
Question 4 : Si un cylindre a un volume de 300 cm³ et un rayon de 5 cm, quelle est sa hauteur ?
Question 5 : Comparez le volume de deux cylindres, l'un avec un rayon de 3 cm et de hauteur 7 cm, et l'autre avec un rayon de 6 cm et hauteur 3 cm.
Question 6 : Comment le volume d'un cylindre change-t-il si son rayon est multiplié par 3 ?
Question 7 : Représentez graphiquement les volumes de cylindres pour différents rayons (3 cm, 5 cm, 7 cm) avec une hauteur de 10 cm.
Question 8 : Si on combine deux cylindres de même hauteur mais de rayons différents, quel sera le volume total ?

Règles et formules pour le volume des cylindres

La formule pour calculer le volume \( V \) d'un cylindre est donnée par :
\( V = \pi r^2 h \)
Où \( r \) est le rayon de la base du cylindre et \( h \) est sa hauteur.
Un doublement de la hauteur d'un cylindre double également son volume.
Si le diamètre est donné, le rayon peut être trouvé en divisant le diamètre par 2.

Indications pour résoudre les questions

Utilisez la formule \( V = \pi r^2 h \) pour chaque volume demandé.
Assurez-vous de convertir toutes les mesures en centimètres si nécessaire.
Pensez à calculer le volume des cylindres avant de répondre aux questions comparatives.
Utilisez une calculatrice pour les opérations complexes impliquant le calcul de \( \pi \).

Solutions détaillées des questions

Question 1

Pour un cylindre de rayon \( r = 5 \) cm et de hauteur \( h = 10 \) cm, le volume est :

\[ V = \pi (5)^2 (10) = \pi \times 25 \times 10 = 250\pi \text{ cm}^3 \approx 785.4 \text{ cm}^3 \]

Question 2

Si la hauteur est doublée, le volume devient : \[ V = \pi r^2 (2h) = 2 \cdot V_{original} \] Cela signifie que le volume double.

Question 3

Pour un cylindre de diamètre \( d = 8 \) cm, le rayon \( r = \frac{8}{2} = 4 \) cm. Ainsi, avec une hauteur \( h = 15 \) cm, le volume est : \[ V = \pi (4)^2 (15) = 240\pi \text{ cm}^3 \approx 754.0 \text{ cm}^3 \]

Question 4

Utilisant la formule inverse pour trouver la hauteur : \[ H = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{300}{\pi (5)^2} = \frac{300}{25\pi} = \frac{12}{\pi} \approx 3.82 \text{ cm} \]

Question 5

Pour le premier cylindre : \[ V_1 = \pi (3)^2 (7) = 63\pi \text{ cm}^3 \] Pour le deuxième cylindre : \[ V_2 = \pi (6)^2 (3) = 108\pi \text{ cm}^3 \] La comparaison des volumes montre que le deuxième cylindre est plus grand.

Question 6

Si le rayon est multiplié par 3, le volume sera multiplié par \[ 3^2 = 9 \text{ (car \( V \) dépend de \( r^2 \))}. \]

Question 7

Graphiquement, les volumes de cylindres pour les rayons 3, 5 et 7 cm avec une hauteur de 10 cm sont :

Question 8

Pour deux cylindres de hauteurs identiques \( h \) et rayons \( r_1 \) et \( r_2 \), le volume total est \[ V_{total} = V_1 + V_2 = \pi r_1^2 h + \pi r_2^2 h = \pi h (r_1^2 + r_2^2) \]

Points clés à retenir sur le volume des cylindres

La formule de volume des cylindres est essentielle pour tout calcul.
Comprendre comment les changements de rayon et de hauteur impactent le volume.
Les unités doivent toujours être cohérentes lors de la réalisation des calculs.
Le volume est proportionnel au carré du rayon.
Utiliser les diagrammes peut considérablement améliorer la compréhension.
Appliquer les relations volumétriques peut résoudre des problèmes pratiques.
Le volume ne peut jamais être négatif.
Les comparaisons de cylindres doivent prendre en compte à la fois le rayon et la hauteur.
Réviser régulièrement les propriétés des solides augmentera la confiance.
Pratique : plus de problèmes améliorent les compétences en résolution de problèmes.

Définitions et termes importants

Cylindre : Un solide avec deux bases circulaires identiques et une surface courbe.
Rayon : La distance du centre du cercle à tout point sur la circonférence.
Hauteur : La distance entre les deux bases du cylindre.
Volume : L'espace occupé par un solide, mesuré en unités cubiques.
Base : Une des surfaces planes d'un solide; les deux bases d'un cylindre sont circulaires.