Exercices pratiques sur cônes et cylindres avec corrections

Améliorez vos compétences avec ces exercices pratiques sur les cônes et cylindres, accompagnés de corrections détaillées. Un must pour le collège et le lycée!

Exercices pratiques sur les cônes et cylindres

Voici un exercice pratique pour aider à approfondir votre compréhension des cônes et des cylindres. Répondez aux questions suivantes :

Question 1 : Calculez le volume d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.
Question 2 : Calculez l'aire de base d'un cylindre de rayon 5 cm.
Question 3 : Un cylindré a une hauteur de 10 cm et un diamètre de 6 cm. Quel est son volume ?
Question 4 : Calculez la surface latérale d'un cône de rayon 2 cm et de hauteur 3 cm.
Question 5 : Un cône a un volume de 30 cm³. Si la hauteur est de 5 cm, quel est le rayon de la base ?
Question 6 : Comparez les volumes d'un cône et d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur si le rayon est de 4 cm et la hauteur de 12 cm.
Question 7 : Dessinez un cône et un cylindre ayant la même hauteur, avec des rayons différents et calculez leur volume.

Règles et Formules Importantes

Volume d'un cône : \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
Volume d'un cylindre : \( V = \pi r^2 h \)
Aire de base d'un cylindre : \( A = \pi r^2 \)
Surface latérale d'un cône : \( S_L = \pi r g \) où \( g \) est la génératrice, calculé par \( g = \sqrt{r^2 + h^2} \)
Comparaison des volumes : le volume du cône est un tiers de celui du cylindre avec les mêmes dimensions.

Indications pour les Élèves

Pour calculer le volume et les aires, n'oubliez pas d'utiliser \(\pi \approx 3.14\) si indiqué. Utilisez également une calculatrice pour faciliter les calculs.

Solutions Détaillées des Questions

Question 1 :

Volume d'un cône :
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3^2)(4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12\pi \approx 37.68 \, \text{cm}^3 \)

Question 2 :

Aire de base d'un cylindre :
\( A = \pi r^2 = \pi (5^2) = 25\pi \approx 78.54 \, \text{cm}^2 \)

Question 3 :

Volume d'un cylindre :
\( V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{6}{2}\right)^2 \times 10 = \pi (3^2) \times 10 = 90\pi \approx 282.74 \, \text{cm}^3 \)

Question 4 :

Surface latérale d'un cône :
\( g = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
\( S_L = \pi r g = \pi (2)(\sqrt{13}) \approx 2\pi (3.6) \approx 22.62 \, \text{cm}^2 \)

Question 5 :

Volume de cône :
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 30 \implies r^2 = \frac{30 \times 3}{\pi \times 5} \)
\( r^2 \approx \frac{90}{15.7} \approx 5.73 \implies r = \sqrt{5.73} \approx 2.39 \, \text{cm} \)

Question 6 :

Volume du cône :
\( V_{cône} = \frac{1}{3} \pi (4^2)(12) = \frac{1}{3} \pi (16)(12) = 64\pi \)
Volume du cylindre :
\( V_{cylindre} = \pi (4^2)(12) = 192\pi \implies \text{Ratio} = \frac{64\pi}{192\pi} = \frac{1}{3} \)

Question 7 :

Pour dessiner un cône et un cylindre avec des rayons différents, vous pouvez utiliser un logiciel de dessin ou faire un diagramme. Les volumes se calculent comme ci-dessus.

Points Clés à Retenir

Le volume d'un cône est toujours un tiers du volume d'un cylindre ayant la même base et la même hauteur.
Assurez-vous de vérifier l'unité de mesure lorsque vous calculez des volumes et des aires.
Utilisez les formules appropriées pour chaque forme géométrique.
La génératrice d'un cône est essentielle pour calculer sa surface latérale.
Il est important de comprendre la différence entre volume et surface.
Utilisez \(\pi \approx 3,14\) pour des calculs précis dans des situations pratiques.
LE volume d'un cylindre et d'un cône dépend fortement de leur rayon.
Pratiquez avec différentes dimensions pour mieux comprendre le concept.
Visualiser les formes en 3D aide à mieux saisir leur volume et leurs dimensions.
Révisez souvent les formules pour éviter les erreurs de calcul.

Définitions Importantes

Cône : Une figure 3D avec une base circulaire et un sommet. Le volume est calculé avec \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
Cylindre : Une figure 3D avec deux bases circulaires parallèles. Volume : \( V = \pi r^2 h \).
Aire : Mesure de la surface d'une figure. Pour les formes circulaires, elle se calcule comme \( A = \pi r^2 \).
Génératrice : La ligne entre le sommet du cône et un point sur la base circulaire.