Résoudre les problèmes de cônes et cylindres exercices corrigés
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Résolution de problèmes de cônes et cylindres
Dans cet exercice, nous allons aborder des questions liées aux volumes et surfaces des cônes et cylindres. Pour chaque question, des explications détaillées seront fournies. Voici les questions :- 1. Calculez le volume d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm.
- 2. Calculez la surface latérale d'un cylindre de diamètre 4 cm et de hauteur 10 cm.
- 3. Un cône et un cylindre ont le même rayon de 2 cm. Calculez la différence entre leurs volumes si la hauteur du cône est de 6 cm.
- 4. Un cône a un volume de 30 cm³. Si son rayon est de 3 cm, quelle est sa hauteur ?
- 5. Calculez le volume d'un cône dont la base est un triangle équilatéral dont le côté mesure 4 cm et dont la hauteur est de 8 cm.
- 6. Un cylindre et un cône ont la même base et la même hauteur. Si le volume du cylindre est de 100 cm³, quel est le volume du cône ?
Règles et formules
- Volume d'un cône : \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
- Surface latérale d'un cylindre : \( S = 2 \pi r h \)
- Volume d'un cylindre : \( V = \pi r^2 h \)
- Pour un triangle équilatéral de côté \( a \): Aire = \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
- Volume d'un cône à base triangulaire : \( V = \frac{1}{3} \text{Aire de la base} \times h \)
Indications pour la résolution
- Identifiez les dimensions données dans chaque problème.
- Utilisez les formules appropriées pour le volume et la surface.
- Faites attention aux unités : assurez-vous qu'elles soient cohérentes.
- Pour les différences de volume, calculez d'abord tous les volumes impliqués.
Corrections détaillées des questions
1. Calculez le volume d'un cône de rayon \( r = 3 \, \text{cm} \) et de hauteur \( h = 5 \, \text{cm}. \)
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (5) = \frac{1}{3} \pi (9)(5) = 15\pi \, \text{cm}^3 \)
2. Calculez la surface latérale d'un cylindre de diamètre \( d = 4 \, \text{cm} \) et de hauteur \( h = 10 \, \text{cm}. \)
Le rayon \( r = \frac{d}{2} = 2\, \text{cm} \)
\( S = 2 \pi r h = 2 \pi (2)(10) = 40\pi \, \text{cm}^2 \)
3. Volume du cône \( V_c \) et du cylindre \( V_{\text{cy}} \) avec \( r = 2 \, \text{cm} \) et \( h_c = 6 \, \text{cm}. \)
\( V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h_c = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (6) = \frac{24}{3} \pi = 8\pi \)
\( V_{\text{cy}} = \pi r^2 h = \pi (2^2) h = 4\pi h \)
La différence de volume : \( V_{\text{cy}} - V_c = 4\pi h - 8\pi \)
4. Volume \( V = 30 \, \text{cm}^3 \), \( r = 3 \, \text{cm} \). Trouvons la hauteur \( h \).
\( 30 = \frac{1}{3} \pi (3^2) h \)
\( 30 = 3\pi h \)
\( h = \frac{30}{3\pi} = \frac{10}{\pi} \, \text{cm} \)
5. Volume d'un cône dont la base est un triangle équilatéral avec côté \( a = 4 \, \text{cm} \) et hauteur \( h = 8 \, \text{cm}. \)
Aire de la base : \( \text{Aire} = \frac{\sqrt{3}}{4} (4^2) = 4\sqrt{3} \)
\( V = \frac{1}{3} \text{Aire} \times h = \frac{1}{3} (4\sqrt{3})(8) = \frac{32\sqrt{3}}{3} \, \text{cm}^3 \)
6. Volume du cylindre \( V_{\text{cy}} = 100\, \text{cm}^3 \).
\( V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} V_{\text{cy}} = \frac{1}{3} \times 100 = \frac{100}{3} \, \text{cm}^3 \)
Points clés à retenir
- Les volumes et surfaces des cônes et cylindres sont calculables via des formules simples.
- Le cône a un volume inférieur à celui du cylindre ayant la même base et hauteur.
- Les dimensions doivent toujours être de la même unité avant le calcul.
- La hauteur est essentielle pour le volume et peut dépendre d'autres variables.
- Les surfaces sont calculées indépendamment du volume.
- Utiliser des valeurs arrondies pour des calculs pratiques, mais garder les valeurs exactes pour des formules.
- Comprendre la forme de la base est crucial pour calculer le volume d’un cône à base polygonale.
- Avoir une visualisation aide à mieux saisir les concepts de volume et de surface.
- La pi est une constante importante dans la géométrie des formes courbes.
- Le volume du cône est toujours un tiers de celui du cylindre couvre par la même base et la même hauteur.
Définitions utiles
- Cône : Une forme géométrique qui a une base circulaire et un sommet, avec une surface courbe connectant les points de la base au sommet.
- Cylindre : Un solide géométrique avec deux bases circulaires et une surface latérale droite reliant les bords des bases.
- Volume : L'espace occupé par un solide, mesuré en unités cubiques.
- Surface : La mesure de la zone d'un objet en unités carrées.
- Aire : La mesure de la surface d'une forme plane, comme un triangle ou un cercle.
Cônes et cylindres en géométrie spatiale exercices avancés