Exercices corrigés sur le volume et la surface des cônes

Solutions détaillées pour chaque question

Question 1

Pour calculer le volume d'un cône de rayon \( r = 4 \text{ cm} \) et de hauteur \( h = 9 \text{ cm} \), on utilise la formule : \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Remplaçons les valeurs : \[ V = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (9) = \frac{1}{3} \pi (16)(9) = \frac{144 \pi}{3} = 48 \pi \approx 150.8 \text{ cm}^3 \]

Question 2

Pour la surface totale, calculons d'abord la génératrice \( l \) : \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \approx 9.8 \text{ cm} \] Ensuite, calculons la surface latérale : \[ S_l = \pi r l = \pi \times 4 \times \sqrt{97} \approx 4 \pi \times 9.8 \approx 39.2 \pi \approx 123.4 \text{ cm}^2 \] Enfin, ajoutons la surface de la base : \[ S_b = \pi r^2 = \pi (4)^2 \approx 16 \pi \approx 50.3 \text{ cm}^2 \] Donc, la surface totale est : \[ S_t = S_l + S_b \approx 39.2 \pi + 16 \pi = 55.2 \pi \approx 173.7 \text{ cm}^2 \]

Question 3

Si le rayon est doublé \( r' = 8 \text{ cm} \), le volume devient : \[ V' = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (9) = \frac{1}{3} \pi (64)(9) = \frac{576 \pi}{3} = 192 \pi \approx 602.9 \text{ cm}^3 \]

Question 4

On sait que \( V = 100 \text{ cm}^3 \) et que \( r = 5 \text{ cm} \). Utilisons la formule du volume pour trouver la hauteur : \[ 100 = \frac{1}{3} \pi (5)^2 h \] \[ 100 = \frac{25 \pi}{3} h \] On résout pour \( h \) : \[ h = \frac{300}{25 \pi} = \frac{12}{\pi} \approx 3.82 \text{ cm} \]