Géométrie spatiale défis avec des cônes et cylindres corrigés

Solutions détaillées de chaque question

1. Volume d'un cône

Pour un cône avec \( r = 5 \, cm \) et \( h = 12 \, cm \), on utilise la formule :
\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( = \frac{1}{3} \pi (5^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \, cm^3 \)
Ainsi, \( V \approx 314.16 \, cm^3 \).

2. Surface latérale d'un cylindre

Pour un cylindre avec \( r = 4 \, cm \) et \( h = 10 \, cm \) :
\( S_L = 2 \pi r h \)
\( = 2 \pi (4)(10) = 80\pi \, cm^2 \)
Ainsi, \( S_L \approx 251.33 \, cm^2 \).

3. Volume d'un cylindre

Pour un cylindre avec \( r = 3 \, m \) et \( h = 7 \, m \) :
\( V = \pi r^2 h = \pi (3^2)(7) = 63\pi \, m^3 \)
Donc, \( V \approx 197.82 \, m^3 \).

4. Rayon d'un cône avec surface totale donnée

Pour un cône de surface totale \( S_T = 150 \, cm^2 \) et \( h = 10 \, cm \):
\( S_T = \pi r (r + \sqrt{h^2 + r^2}) \)
On résout pour \( r \) dans cette équation pour trouver le rayon.

5. Comparaison des volumes de cône et de cylindre

Le volume du cône est \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \) et du cylindre est \( V = \pi r^2 h \).
Pour les mêmes bases et hauteurs, on obtient que le volume du cône est aussi \(\frac{1}{3}\) de celui du cylindre.

6. Hauteur d'un cône inscrit dans un cylindre

La hauteur du cône correspond à celle du cylindre, soit 15 cm.

7. Longueur de l’arête oblique d'un cône

Avec \( h = 9 \, cm \) et \( r = 4 \, cm \):
\( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \approx 9.85 \, cm \).

8. Volume d'un cône tronqué

Pour un cône tronqué avec \( R = 3 \, cm, r = 2 \, cm, h = 5 \, cm \):
\( V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi (5)(3^2 + 3 \times 2 + 2^2) \)
= \( \frac{1}{3} \pi (5)(9 + 6 + 4) = \frac{1}{3} \pi(5)(19) = \frac{95}{3} \pi \, cm^3 \)
Donc, \( V \approx 99.74 \, cm^3\).