Résolution de problèmes cubes et géométrie avancée
Améliorez vos compétences en résolution de problèmes avancés de géométrie spatiale axés sur les cubes. Entraînez-vous avec des exercices corrigés détaillés.
Résolution de Problèmes sur les Cubes en Géométrie Avancée
Dans cet exercice, nous allons explorer les propriétés des cubes à travers quatre questions pratiques. Chaque question nécessitera de comprendre les relations géométriques entre un cube, son volume, sa surface et d'effectuer quelques calculs. Voici les questions :- Calculer le volume d'un cube dont l'arête mesure 5 cm.
- Déterminer la surface totale d'un cube dont le volume est 512 cm³.
- Si un cube a une arête de 4 cm, quelle est la longueur de la diagonale de l'arête ?
- Un cube est découpé en 27 petits cubes identiques. Si le volume d’un de ces petits cubes est 1 cm³, quelle est la longueur de l'arête du cube d'origine ?
Règles et Formules Importantes
- Le volume \( V \) d'un cube est donné par la formule : \( V = a^3 \), où \( a \) est la longueur de l'arête.
- La surface totale \( S \) d'un cube est donnée par : \( S = 6a^2 \).
- La longueur de la diagonale d'un cube peut être calculée par : \( d = a\sqrt{3} \).
- Pour trouver la longueur de l'arête à partir du volume, utilisez \( a = \sqrt[3]{V} \).
Indications pour Aider les Étudiants
- Identifiez toujours les grandeurs connues avant de commencer les calculs.
- Utilisez des unités de mesure cohérentes dans tous vos calculs.
- Représentez visuellement les relations géométriques pour mieux comprendre.
- Vérifiez vos calculs pour éviter les erreurs arithmétiques.
Solutions Détailées des Questions
Question 1
Pour calculer le volume d'un cube, nous utilisons la formule \( V = a^3 \).
Avec \( a = 5 \) cm :
$$ V = 5^3 = 125 \text{ cm}^3 $$
La réponse est que le volume est de 125 cm³.
Question 2
Pour trouver la surface totale à partir du volume, calculons d'abord la longueur de l'arête :
$$ a = \sqrt[3]{512} = 8 \text{ cm} $$
Maintenant, utilisons la formule de surface :
$$ S = 6a^2 = 6 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384 \text{ cm}^2 $$
La surface totale est de 384 cm².
Question 3
Pour trouver la longueur de la diagonale d'un cube, nous appliquons la formule \( d = a\sqrt{3} \).
Avec \( a = 4 \) cm:
$$ d = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ cm} $$
La longueur de la diagonale est d'environ 6.93 cm.
Question 4
Si un cube est découpé en 27 petits cubes, alors chaque petit cube est \( \frac{1}{27} \) du cube original.
Sachant que le volume d'un petit cube est 1 cm³, le volume du cube d'origine est \( 27 \times 1 = 27 \text{ cm}^3 \).
Utilisons la formule pour \( a \):
$$ a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm} $$
La longueur de l'arête du cube d'origine est de 3 cm.
Cinq Points Clés à Retenir
- Comprendre les formules du cube est essentiel pour résoudre des problèmes.
- Le volume et la surface sont interconnectés.
- Les relations géométriques peuvent simplifier les calculs.
- Il est important de vérifier les unités de mesure.
- Pratiquez régulièrement pour maîtriser ces concepts.
Définitions Clés
- Cube : Un solide à six faces carrées, ayant tous ses côtés de même longueur.
- Volume : Mesure de l'espace occupé par un solide, exprimé en unités cubiques.
- Surface totale : Somme des aires de toutes les faces du solide.
- Diagonale : Segment de ligne qui relie deux sommets non adjacents d'un solide.
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