Exercices complexes sur les cubes pour les étudiants avancés
Affrontez des exercices complexes et développez une compréhension approfondie des cubes en géométrie spatiale avec ces corrigés spécialement conçus pour les avancés.
Exercices avancés sur les cubes pour le lycée
Ce document propose une série de questions sur les propriétés géométriques des cubes, destinées aux étudiants avancés du lycée. Voici les différentes questions :- 1. Calculez le volume d'un cube dont l'arête mesure 5 cm.
- 2. Quelle est la surface totale d'un cube de 4 cm de long?
- 3. Si un cube est agrandi d'un facteur de 2, quel est le nouveau volume?
- 4. Trouvez la diagonale d'un cube dont l'arête mesure 3 cm.
- 5. Un cube est découpé en 64 petits cubes de même taille. Quelle est la longueur de l'arête de chaque petit cube?
- 6. Un cube est peint à l'extérieur. Si on enlève une couche de peinture, quelle serait la surface peinte restante pour un cube de 6 cm?
- 7. Calculez le rapport des volumes entre un cube dont l'arête mesure 2 cm et un cube dont l'arête est de 8 cm.
Règles et formules concernant les cubes
- Le volume d'un cube est donné par la formule : \( V = a^3 \), où \( a \) est la longueur de l'arête.
- La surface totale d'un cube est calculée par : \( S = 6a^2 \).
- La diagonale d'un cube est donnée par : \( d = a\sqrt{3} \).
- En augmentant l'arête d'un cube par un facteur \( k \), le nouveau volume est \( V_{new} = k^3 \times V_{old} \).
Indications utiles pour la résolution
- Utilisez les formules de volume et de surface pour les calculs.
- Pour la question sur la diagonale, n'oubliez pas d'appliquer le théorème de Pythagore.
- Lorsque vous découpez un cube, pensez à la racine cubique pour obtenir la nouvelle longueur de l'arête.
- Pour la surface peinte, calculez d'abord celle du cube et ajustez-la en fonction des couches enlevées.
Solutions détaillées pour chaque question
1. Volume du cube : \( V = 5^3 = 125 \, \text{cm}^3 \).
2. Surface totale : \( S = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \, \text{cm}^2 \).
3. Volume après agrandissement : \( V_{new} = 2^3 \times V_{original} = 8 \times V_{original} \). (Substituez avec le volume original à partir de la question initiale).
4. Diagonale : \( d = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \, \text{cm} \).
5. Longueur de l'arête des petits cubes : \( a_{petit} = \sqrt[3]{\frac{V_{cube}}{64}} = \frac{a}{4} = \frac{3}{4} \, \text{cm} \).
6. Surface peinte restante : \( S_{new} = S - S_{couche} \) (Calculez ici la surface d'une couche intérieure et soustrayez-la de la surface originale).
7. Rapport des volumes : \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{8^3}{2^3} = \frac{512}{8} = 64 \).
Points clés à retenir sur les cubes
- Un cube a six faces carrées identiques.
- La formule du volume est toujours \( a^3 \).
- La surface d'un cube est proportionnelle au carré de l'arête.
- La diagonale est toujours \( a\sqrt{3} \).
- Les transformations de taille affectent le volume cubiquement.
- Les petites sections d'un cube sont toujours cubiques.
- Le cube est une forme géométrique et une structure tridimensionnelle.
- Quand un cube est peint, enlever des couches affecte la surface peinte.
- Les rapports de volume et de surface appliquent la même logique de proportion.
- Facilitez les calculs en vérifiant vos unités.
Définitions et descriptions des termes utilisés
- Cube : Solide géométrique à six faces carrées.
- Arête : Segment de droite à l'intersection de deux faces.
- Volume : Mesure de l'espace occupé par un solide.
- Surface : Mesure de l'espace sur les faces extérieures d'un solide.
- Diagonale : Segment reliant deux sommets non adjacents d'un cube.
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