Exercices corrigés simples sur les équivalences d'inégalités
Découvrez des exercices corrigés simples sur les équivalences d'inégalités pour consolider vos compétences en mathématiques. Parfait pour les élèves du collège et lycée.
Exercices Corrigés sur les Équivalences d'Inégalités
Voici quelques exercices sur les équivalences d'inégalités. Résoudre chaque inégalité, et justifier chaque étape de votre raisonnement.- 1. Résoudre l'inégalité suivante : \(3x - 7 > 2x + 1\)
- 2. Résoudre l'inégalité suivante : \(-2(x + 3) < 5x - 9\)
- 3. Résoudre l'inégalité suivante : \(\frac{x - 4}{3} \leq 2\)
- 4. Résoudre l'inégalité suivante : \(4x + 1 \geq 2x + 9\)
- 5. Résoudre l'inégalité suivante : \( \frac{1}{2}x - 3 < \frac{1}{4}x + 2\)
- 6. Résoudre l'inégalité suivante : \(|2x - 3| < 5\)
Règles et Méthodes des Équivalences d'Inégalités
- 1. Ajouter ou soustraire un même nombre des deux côtés d'une inégalité ne change pas le sens.
- 2. Multiplier ou diviser par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité.
- 3. Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
- 4. Si \(a < b\) alors \(a + c < b + c\) pour tout \(c\).
- 5. Si \(a < b\) et \(c > 0\) alors \(ac < bc\).
- 6. Les inégalités peuvent être combinées pour trouver des solutions.
Indications pour Résoudre les Inégalités
- 1. Simplifiez chaque côté de l'inégalité autant que possible.
- 2. Isoler la variable d'un côté de l'inégalité.
- 3. Ne pas oublier de changer le sens de l'inégalité si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.
- 4. Vérifiez toujours votre solution sur l'inégalité d'origine.
- 5. Pour les inégalités absolues, séparez en deux cas selon la définition de la valeur absolue.
Solutions Détailées des Exercices
1. \(3x - 7 > 2x + 1\)
Étape 1 : Soustrayez \(2x\) des deux côtés :
\(3x - 2x - 7 > 1\)
Étape 2 : Simplifiez :
\(x - 7 > 1\)
Étape 3 : Ajoutez \(7\) des deux côtés :
\(x > 8\)
2. \(-2(x + 3) < 5x - 9\)
Étape 1 : Distribuez -2 :
\(-2x - 6 < 5x - 9\)
Étape 2 : Ajoutez \(2x\) des deux côtés :
\(-6 < 7x - 9\)
Étape 3 : Ajoutez \(9\) des deux côtés :
\(3 < 7x\)
Étape 4 : Divisez par \(7\) :
\(x > \frac{3}{7}\)
3. \(\frac{x - 4}{3} \leq 2\)
Étape 1 : Multipliez par \(3\) :
\(x - 4 \leq 6\)
Étape 2 : Ajoutez \(4\) :
\(x \leq 10\)
4. \(4x + 1 \geq 2x + 9\)
Étape 1 : Soustrayez \(2x\) :
\(2x + 1 \geq 9\)
Étape 2 : Soustrayez \(1\) :
\(2x \geq 8\)
Étape 3 : Divisez par \(2\) :
\(x \geq 4\)
5. \(\frac{1}{2}x - 3 < \frac{1}{4}x + 2\)
Étape 1 : Soustrayez \(\frac{1}{4}x\) :
\(\frac{1}{4}x - 3 < 2\)
Étape 2 : Ajoutez \(3\) :
\(\frac{1}{4}x < 5\)
Étape 3 : Multipliez par \(4\) :
\(x < 20\)
6. \(|2x - 3| < 5\)
Étape 1 : Définissez les cas :
Cas 1 : \(2x - 3 < 5\) et Cas 2 : \(2x - 3 > -5\)
Cas 1 : \(2x < 8 \Rightarrow x < 4\)
Cas 2 : \(2x > -2 \Rightarrow x > -1\)
Conclusion : \(-1 < x < 4\)
Points Clés à Retenir sur les Équivalences d'Inégalités
- 1. Comprendre comment manipuler les inégalités.
- 2. Identifier les précautions lors de la multiplication/division par un négatif.
- 3. Savoir résoudre une équation et son équivalence.
- 4. Prendre en compte les cas pour les valeurs absolues.
- 5. Vérifier toujours les solutions trouvées.
- 6. Connaître les relations entre les inégalités.
- 7. Pratiquer plusieurs exercices pour maîtriser le sujet.
- 8. Appliquer les règles lors d'une résolution multi-étapes.
- 9. Utiliser des graphiques pour visualiser les solutions.
- 10. Attention aux erreurs fréquentes, notamment les inversions de signe.
Définitions des Termes Utilisés
- Inequality (Inégalité) : Relation mathématique indiquant qu'une quantité est supérieure ou inférieure à une autre.
- Equivalent (Équivalent) : Expressions qui, lorsqu'elles sont résolues, donnent le même ensemble de solutions.
- Valeur Absolue : Distance d'un nombre à zéro sur la droite numérique, ignorante du signe.
- Solution (Solution) : Valeur (ou ensemble de valeurs) qui satisfait une inégalité donnée.
- Isoler (Isoler) : Manœuvre mathématique qui consiste à séparer la variable des constantes d'une équation ou inégalité.
