Maîtrisez les équivalences d'inégalités exercices corrigés
Approfondissez vos connaissances en mathématiques avec des exercices corrigés sur les équivalences d'inégalités. Idéal pour les élèves du lycée.
Maîtrisez les équivalences d'inégalités : Exercice Complet
Problème d'Équivalences d'Inégalités
L'objectif de cet exercice est de maîtriser les équivalences et la manipulation des inégalités. Répondez aux questions suivantes :- Justifiez l'équivalence suivante : Si \( x - 2 < 0 \), alors quelle est l'inégalité équivalente ?
- Démontrez que l'inégalité \( 3x + 1 \leq 10 \) est équivalente à une forme simplifiée.
- Résolvez l'inéquation suivante : \( 2(x + 3) > 12 \) et trouvez l'ensemble des solutions.
- Montrez que \( x^2 - 4 < 0 \) a des solutions dans \( \mathbb{R} \).
- Sur quel intervalle \( x \) vérifie \( 4x - 5 \geq 3 \) ?
- Expliquez comment les équivalences d'inégalités peuvent être utilisées pour résoudre \( |x - 1| < 3 \).
- Trouvez les solutions de l'inégalité \( 5x + 7 \leq 4x + 1 \).
- Résolvez l'inégalité \( \frac{x + 1}{x - 2} \leq 0 \) en précisant les étapes et les signes.
Règles et Méthodes d'Équivalence d'Inégalités
- Ajouter ou soustraire le même nombre de chaque côté de l'inégalité ne change pas son sens.
- Multiplier ou diviser par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité, mais le multiplier ou diviser par un nombre négatif le change.
- Simplifier les expressions peut aider à révéler des équivalences.
- Utiliser la forme canonique des inégalités pour faciliter la résolution.
graph TD;
A[Règles d'Équivalence] --> B[Ajouter/Soustraire];
A --> C[Multiplier/Diviser];
B --> D[Ne change pas le sens];
C --> E[Changer le sens si négatif];
Indications pour Résoudre les Inégalités
- Rappelez-vous que les solutions doivent toujours être ordonnées.
- Utilisez un tableau de signes pour les inégalités rationnelles.
- Pour les valeurs absolues, envisagez deux cas selon le signe.
- Il est souvent utile de vérifier les solutions sur la droite numérique.
Corrigé Détailé des Questions
- Justifiez l'équivalence suivante : Si \( x - 2 < 0 \), alors \( x < 2 \). En ajoutant 2 de chaque côté de l'inégalité, nous avons...
- Pour \( 3x + 1 \leq 10 \), soustrayons 1 de chaque côté : \( 3x \leq 9 \). Ensuite, en divisant par 3, nous obtenons \( x \leq 3 \).
- Résolvons \( 2(x + 3) > 12 \) : En développant, \( 2x + 6 > 12 \). Donc, \( 2x > 6 \), ensuite \( x > 3 \).
- Pour \( x^2 - 4 < 0 \), nous factorisons en \( (x - 2)(x + 2) < 0 \). Cela nous donne les intervalles \( (-2, 2) \).
- Pour \( 4x - 5 \geq 3 \), nous ajoutons 5 : \( 4x \geq 8 \), et donc \( x \geq 2 \).
- Pour \( |x - 1| < 3 \), on considère deux cas, \( x - 1 < 3 \) et \( x - 1 > -3 \), ce qui conduit à \( -2 < x < 4 \).
- Résolvons \( 5x + 7 \leq 4x + 1 \) : \( x \leq -6 \).
- Pour \( \frac{x + 1}{x - 2} \leq 0 \), analysez le numérateur et le dénominateur. Les solutions sont \( x \in (-\infty, -1] \cup (2, +\infty) \).
Points Clés à Retenir sur les Équivalences d'Inégalités
- Comprendre les propriétés de l'inégalité.
- Les inégalités peuvent être transformées de manière équivalente.
- Visualiser les solutions est essentiel.
- Utiliser un tableau de signes est recommandé.
- Ne jamais oublier de vérifier les solutions.
- Utiliser les notations correctes pour simplifier les solutions.
- Appliquer la méthode des cas pour les valeurs absolues.
- Être attentif aux situations où le dénominateur est nul.
- Garder à l'esprit les intervalles pour conclure les solutions.
- Pratiquer régulièrement pour maîtriser le sujet.
Définitions Clés des Termes Utilisés
- Inégalité : Une relation qui exprime qu'une valeur est plus grande ou plus petite qu'une autre.
- Valeur Absolue : La distance d'un nombre par rapport à zéro sur la droite numérique.
- Intervalle : Une plage de nombres compris entre deux bornes.
- Tableau de Signes : Un outil qui aide à déterminer les signes des facteurs d'une inégalité dans différents intervalles.
- Equivalence : Deux expressions qui sont identiques dans certaines conditions.