Challenge en inégalités équivalences complexes exercices corrigés
Mettez vos compétences à l'épreuve avec des exercices corrigés complexes sur les équivalences d'inégalités, parfaits pour les lycéens passionnés de mathématiques.
Challenge en inégalités et équivalences complexes : Exercices corrigés
Voici un exercice sur les inégalités et les équivalences complexes qui inclut plusieurs questions pour tester vos compétences.Règles et Méthodes pour les Inégalités
- Si \( a < b \) alors \( a + c < b + c \)
- Si \( a < b \), alors \( ac < bc \) pour \( c > 0 \) et \( ac > bc \) pour \( c < 0 \)
- Pour des inégalités multiples, on peut additionner ou soustraire la même valeur des deux côtés.
- Un ensemble d'inégalités peut être résolu simultanément pour trouver la solution commune.
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifiez d'abord les termes de l'inégalité.
- Islez la variable si possible.
- Représentez graphiquement les inégalités si cela peut aider à la compréhension.
- Vérifiez vos solutions en substituant les valeurs trouvées dans les inégalités initiales.
Solutions Détails des Questions
Question 1 : Résoudre \( 2x - 3 < 5 \).
Pour résoudre cette inégalité, nous ajoutons 3 des deux côtés :
\( 2x < 8 \)
Ensuite, nous divisons par 2 :
\( x < 4 \)
La solution est \( x < 4 \).
Question 2 : Résoudre \( -3(x - 2) \geq 9 \).
Nous commençons par distribuer le \(-3\) :
\( -3x + 6 \geq 9 \)
Ensuite, nous soustrayons 6 des deux côtés :
\( -3x \geq 3 \)
Maintenant, nous divisons par -3 (n'oublions pas de changer le sens de l'inégalité) :
\( x \leq -1 \)
La solution est \( x \leq -1 \).
Question 3 : Trouver les solutions de \( x^2 - 4x < 0 \).
Facteur l'inégalité :
\( x(x - 4) < 0 \)
Pour les inégalités quadratiques, nous trouvons les racines, ici cela donne \( x = 0 \) et \( x = 4 \).
Nous analysons le signe dans les intervalles \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), et \( (4, \infty) \) :
1. Pour \( x < 0 \), les deux facteurs sont négatifs, donc productif est positif.
2. Pour \( 0 < x < 4 \), le premier facteur est positif, le second négatif, donc productif est négatif.
3. Pour \( x > 4 \), les deux facteurs sont positifs, donc productif est positif.
Donc, la solution est \( 0 < x < 4 \).
Question 4 : Montrer que \( 3(x - 1) < 2(2x + 1) \) équivaut à \( x < 5 \).
Développons l'inégalité :
\( 3x - 3 < 4x + 2 \)
Maintenant, soustrayons \( 3x \) des deux côtés :
\( -3 < x + 2 \)
Soustrayons 2 :
\( x > -5 \)
Toutefois, nous cherchons où \( x < 5 \), donc l'inégalité initiale a une solution de \( x < 5 \), vérifiant l'équivalence.
Points Clés à Retenir
- Les inégalités sont sensibles à la multiplication par des nombres négatifs.
- Les équivalences d'inégalités peuvent parfois nécessiter des techniques de factorisation.
- Il est essentiel de vérifier les solutions dans les inégalités originales.
- La représentation graphique aide à visualiser les solutions.
- Les points de changement (racines) sont fondamentaux pour les inégalités quadratiques.
- Comprendre le signe des produits aide à résoudre des inégalités complexes.
- La notation intervalle est souvent utilisée pour exprimer les solutions d'inégalités.
- Les systèmes d'inégalités nécessitent des solutions communes.
- Les transformations d'inégalités doivent maintenir le sens de l'inégalité.
- La pratique d'inégalités complexes améliore la maîtrise des matières algébriques.
Dictionnaire des Termes Clés
- Inégalité : Une relation indiquant qu'une valeur est inférieur ou supérieur à une autre.
- Solution : Une valeur qui satisfait une équation ou une inégalité.
- Intervalle : Une plage de valeurs, utilisée pour exprimer des solutions.
- Facteur : Un nombre ou une expression qui multiplié par une autre donne un produit.
- Racine : Une solution d'une équation polynômiale.
- Produit : Le résultat d'une multiplication.
- Transformation d'inégalité : Modifier une inégalité tout en conservant son équivalent.
- Graphique : Représentation visuelle qui aide à comprendre les solutions d'inégalités.
- Terme : Un élément dans une expression algébrique.
- Équivalence : Deux expressions ou inégalités qui se vérifient pour les mêmes valeurs.