Équivalences d'inégalités exercices avec solutions détaillées
Accédez à des exercices corrigés avec des solutions détaillées sur les équivalences d'inégalités, un atout précieux pour les élèves du collège et du lycée.
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Exercice sur les équivalences d'inégalités avec solutions détaillées
Étant donné les inégalités suivantes, transformez-les en équivalences et identifiez si les transformations sont correctes.- 1. Si \( a > b \), alors \( a + 2 > b + 2 \).
- 2. Si \( a \geq b \), alors \( -a \leq -b \).
- 3. Si \( 3x < 6 \), que pouvez-vous dire de \( x \) ?
- 4. Si \( x^2 \leq 9 \), que pouvez-vous en déduire pour \( x \) ?
- 5. Prouvez que l'inégalité \( a^2 + b^2 \geq 2ab \) est vraie.
- 6. Trouvez quoi \( x \) est plus grand : \( 2^x \) ou \( x^2 \) pour \( x = 1, 2, 3 \).
- 7. Équivalence entre \( x + 1 > 2 \) et \( x > 1 \).
Règles essentielles pour la transformation des inégalités
- L'ajout ou la soustraction du même nombre de chaque côté d'une inégalité ne change pas son sens.
- La multiplication ou la division de chaque côté d'une inégalité par un nombre positif ne change pas son sens.
- La multiplication ou la division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Indications pour résoudre les inégalités
- Analyser le signe des termes lors de la multiplication ou de la division.
- Identifier des expressions équivalentes par des transformations légitimes.
- Vérifier les transformations en remplaçant les variables par des valeurs numériques.
Solutions détaillées aux inégalités proposées
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Question 1: \[ a > b \implies a + 2 > b + 2 \]
C'est correct car ajouter ou soustraire le même nombre partout ne modifie pas l'inégalité.
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Question 2: \[ a \geq b \implies -a \leq -b \]
C'est correct car multiplier par -1 inverse le signe.
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Question 3: \[ 3x < 6 \Rightarrow x < 2 \]
En divisant par 3 (un nombre positif), vous obtenez \( x < 2 \).
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Question 4: \[ x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3 \]
Résoudre \( x \leq 3 \) et \( x \geq -3 \) donne l'intervalle de solutions.
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Question 5: \( a^2 + b^2 \geq 2ab \) est l'inégalité d'A.M.-G.M.
Reformulez \( (a-b)^2 \geq 0 \), ce qui est toujours vrai.
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Question 6:
Calcul pour \( x = 1 : 2^1 = 2, 1^2 = 1 \Rightarrow 2^1 > 1^2 \)
Calcul pour \( x = 2 : 2^2 = 4, 2^2 = 4 \Rightarrow 2^2 = 2^2 \)
Calcul pour \( x = 3 : 2^3 = 8, 3^2 = 9 \Rightarrow 2^3 < 3^2 \)
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Question 7: Équivalence \( x + 1 > 2 \Rightarrow x > 1 \).
Soustrayez 1 des deux côtés.
Points clés à retenir pour les équivalences d'inégalités
- Les transformations doivent maintenir l'ordre.
- Multiplication/division par des positifs conservent l'inégalité.
- Multiplication/division par des négatifs inversent l'inégalité.
- Les carrés des nombres sont toujours non négatifs.
- Comprendre la logique des autres transformations simples.
- Utilisez des symboles d'égalité pour vérifier l'équivalence.
- Travailler avec des graphiques peut aider à visualiser.
- L'analyse cas par cas pour les nombres est souvent utile.
- Résolutions algébriques doivent être bien vérifiées numériquement.
- Visualiser les étapes avec des diagrammes quand c'est possible.
Définitions essentielles pour comprendre les inégalités
- Inégalité stricte: Relie deux valeurs avec un signe ">" ou "<".
- Inégalité large: Indique une relation avec un signe "≥" ou "≤".
- Équivalence d'inégalité: Processus de transformation des inégalités en gardant la logique.
graph TD;
A[Inégalité Originale] --> B[Ajout/Soustraction d'un même nombre];
B --> C(Sens conservé);
D[Multiplication/division par positif] --> C;
D --> E(Sens inverse avec multiplication/division par négatif);
E --> F[Inégalité Équivalente];